Сколько существует натуральных двузначных чисел, являющихся средним арифметическим некоторого натурального однозначного и некоторого натурального трёхзначного числа?
Чтобы понять, сколько существует натуральных двузначных чисел, которые могут быть средним арифметическим некоторого натурального однозначного числа и некоторого натурального трёхзначного числа, давайте разберёмся с условиями задачи.
- Натуральные однозначные числа: Это числа от 1 до 9 (всего 9 чисел).
- Натуральные трёхзначные числа: Это числа от 100 до 999 (всего 900 чисел).
- Двузначные числа: Это числа от 10 до 99 (всего 90 чисел).
Теперь рассмотрим, как находить среднее арифметическое. Если обозначить однозначное число как \( a \) и трёхзначное число как \( b \), то среднее арифметическое будет: \[ \frac{a + b}{2} = x, \] где \( x \) — искомое двузначное число. Мы можем выразить \( b \) через \( x \) и \( a \): \[ b = 2x - a. \]
Чтобы \( b \) было трёхзначным, должно выполняться: \[ 100 \leq 2x - a \leq 999. \]
Рассмотрим каждый случай. Поскольку \( a \) — однозначное число и может принимать значения от 1 до 9, нам нужно определить границы для \( x \).
Нижняя граница: \[ 100 \leq 2x - 9 \implies 2x \geq 109 \implies x \geq 54.5. \] Так как \( x \) — натуральное, то \( x \geq 55 \).
Верхняя граница: \[ 2x - 1 \leq 999 \implies 2x \leq 1000 \implies x \leq 500. \] Так как \( x \) двузначное, это просто ограничение \( x \leq 99 \).
Теперь мы имеем: \[ 55 \leq x \leq 99. \]
Теперь посчитаем количество целых двузначных чисел в этом диапазоне:
- Начинаем от 55 и заканчиваем на 99.
Это последовательность: 55, 56, 57, ..., 99.
Чтобы найти количество чисел: \[ 99 - 55 + 1 = 45. \]
Таким образом, существует 45 натуральных двузначных чисел, которые являются средним арифметическим некоторого натурального однозначного числа и некоторого натурального трёхзначного числа.
