Два пловца должны попасть из точки А на одном берегу реки в прямо противоположную точку В на другом берегу. Для этого один из них решил переплыть реку по прямой АВ, другой же — все время держать курс перпендикулярно к течению, а расстояние, на которое его снесет, пройти пешком по берегу со скоростью u. При каком значении и оба пловца достигнут точки В за одинаковое время, если скорость течения v0=2,5 м/с и скорость каждого пловца относительно воды v′=3км/ч?

Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим движения обоих пловцов и найдем, при каком значении скорости второго пловца (u) время достижения точки В будет одинаковым для обоих.

1. Первый пловец переплывает реку по прямой АВ. Скорость первого пловца относительно воды составляет v' = 3 км/ч. Преобразуем эту скорость в метры в секунду: \[ v' = 3\text{ км/ч} = \frac{3000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} \approx 0.833 \text{ м/с} \]

2. Второй пловец плывёт перпендикулярно течению. Этот пловец тоже имеет скорость v' = 0.833 м/с, но учитывая течение реки v0 = 2.5 м/с, его фактическая скорость будет составлять векторную сумму: одна компонента будет направлена вдоль течения, а другая — перпендикулярно ему.

   Скорость второго пловца вдоль течения будет равна v0. Поэтому общее время, затраченное первым пловцом, будет зависеть только от ширины реки, которую мы обозначим как d.

   Время, необходимое первому пловцу для переплытия: \[ t_1 = \frac{d}{v'} = \frac{d}{0.833} \]

3. Второй пловец будет двигаться перпендикулярно к течению и, следовательно, будет снесён течением на расстояние, равное v0 * t, где t — время, затраченное на плавание. Это расстояние ему необходимо пройти пешком по берегу со скоростью u.

   Время, которое потребуется второму пловцу для плавания через реку (t): \[ t = \frac{d}{0.833} \]

   Но за это время он будет смещён на расстояние: \[ S = v_0 \cdot t = 2.5 \cdot \frac{d}{0.833} \]

   Это смещение он должен будет компенсировать, пройдя это расстояние по берегу со скоростью u: \[ t_2 = \frac{S}{u} = \frac{2.5 \cdot \frac{d}{0.833}}{u} \]

4. Теперь у нас есть два времени, t1 и t2, и чтобы оба пловца пришли в точку B одновременно, мы устанавливаем равенство: \[ \frac{d}{0.833} + \frac{2.5 \cdot \frac{d}{0.833}}{u} = t_1 \]

   Это можно упростить и решить относительно u: \[ \frac{d}{0.833} (1 + \frac{2.5}{u}) = \frac{d}{0.833} \]

   Из этого уравнения мы видим, что: \[ 1 + \frac{2.5}{u} = 1 \] \[ \frac{2.5}{u} = 0 \]

   Условия, при которых оба пловца достигнут точки В за одинаковое время, означает, что скорость u должна быть равна 2.5 м/с.

Таким образом, скорость второго пловца (u), при которой оба пловца достигнут точку B за одинаковое время, составляет 2.5 м/с.