Равномерно нагретый металлический шар радиуса R помещают в поток холодной воды (температура шара меньше 100 °С - вода не вскипает) и измеряют зависимость температуры в центре шара…
Равномерно нагретый металлический шар радиуса R помещают в поток холодной воды (температура шара меньше 100 °С - вода не вскипает) и измеряют зависимость температуры в центре шара от времени. Начальная разность температур шара и воды равна △t. Оказалось, что в центре она уменьшается вдвое (становится равной △t/2) за время t, причем, как показали эксперименты, это время не зависит от △t. Поскольку шар находится в потоке, температуру окружающей его воды можно считать неизменной. Указание. Распределение тепловых потоков, возникающих в неоднородно нагретом теле, управляется законом теплопроводности, который можно сформулировать так: количество тепла, проходящего в единицу времени через плоскую стенку, равно △Q: △t= A S△t:d, где S-площадь стенки, d - ее толщина, △t - разность температур между ее поверхностями, A - так называемый коэффициент теплопроводности материала этой стенки. Чему будет равно это время для шара радиуса 2R, сделанного из того же материала?
Для решения данной задачи воспользуемся законом теплопроводности и принципами, касающимися нагрева тел.
Из условия задачи известно, что начальная разность температур шара и воды равна \( \Delta t \) и уменьшается вдвое до \( \Delta t/2 \) за время \( t \). Это время не зависит от \( \Delta t \).
Когда мы рассматриваем металлический шар радиуса \( R \), тепло будет распространяться от его поверхности к центру, и этот процесс описывается уравнением теплопроводности.
Пусть \( k \) — коэффициент теплопроводности материала шара. Температурный градиент в теле шара будет зависеть от радиуса, и для шара радиуса \( R \) это можно описать следующим образом.
Проводя аналогичные рассуждения для шара радиуса \( 2R \), можно рассмотреть изменение радиуса и, следовательно, отношение объема и поверхности новых температурных градиентов.
Важным является тот факт, что при увеличении радиуса шара в два раза, площадь поверхности, от которой происходит теплоотдача, увеличивается в 4 раза (так как площадь сферы пропорциональна \( R^2 \)), а объем увеличивается в 8 раз (объём связан с \( R^3 \)). Температура в центре шара по-прежнему будет снижаться в соответствии с законами теплотехники, но время, необходимое для достижения аналогичного термодинамического состояния, будет зависеть также от значения радиуса.
Так как время \( t \) для шара радиуса \( R \) не зависит от \( \Delta t \), то для шара радиуса \( 2R \) время \( t' \) для того, чтобы температура в центре уменьшилась также вдвое, будет зависеть от увеличенного объёма и площади. При увеличении радиуса в 2 раза и площади поверхности в 4 раза время будет увеличиваться также в 2 раза из-за увеличенной теплоемкости.
Таким образом, время \( t' \) для шара радиуса \( 2R \) будет равно \( 2t \): \[ t' = 2t. \]
Ответ: время для шара радиуса \( 2R \) будет равно \( 2t \).
