При каких значениях переменной x имеет смысл выражение √(x-7) (x+5)?

Чтобы определить, при каких значениях переменной \( x \) имеет смысл выражение \( \sqrt{(x-7)(x+5)} \), необходимо учитывать, что под корнем не может быть отрицательное значение. Это означает, что произведение \( (x-7)(x+5) \) должно быть неотрицательным.

Рассмотрим два множителя:

1. \( x - 7 \): этот множитель будет положительным, если \( x > 7 \), и отрицательным, если \( x < 7 \).
2. \( x + 5 \): этот множитель будет положительным, если \( x > -5 \), и отрицательным, если \( x < -5 \).

Теперь давайте найдем, при каких значениях \( x \) произведение \( (x-7)(x+5) \) будет неотрицательным. Для этого можно рассмотреть промежутки на числовой прямой, основываясь на корнях этих множителей:

• Корень первого множителя \( x - 7 = 0 \) происходит при \( x = 7 \).
• Корень второго множителя \( x + 5 = 0 \) происходит при \( x = -5 \).

Теперь разделим числовую прямую на интервалы по этим точкам:

1. \( (-\infty, -5) \)
2. \( [-5, 7] \)
3. \( (7, +\infty) \)

Теперь проверим знаки произведения \( (x-7)(x+5) \) на каждом интервале:

1. На интервале \( (-\infty, -5) \): возьмем, например, \( x = -6 \). \[ (-6-7)(-6+5) = (-13)(-1) = 13 \quad (\text{положительно}) \]

2. На интервале \( [-5, 7] \): возьмем \( x = 0 \). \[ (0-7)(0+5) = (-7)(5) = -35 \quad (\text{отрицательно}) \]

3. На интервале \( (7, +\infty) \): возьмем \( x = 8 \). \[ (8-7)(8+5) = (1)(13) = 13 \quad (\text{положительно}) \]

Теперь подведем итоги:

• На интервале \( (-\infty, -5) \) выражение неотрицательно.
• На интервале \( [-5, 7] \) - выражение отрицательно.
• На интервале \( (7, +\infty) \) - выражение неотрицательно.

Так что, выражение \( \sqrt{(x-7)(x+5)} \) имеет смысл при следующих значениях: \[ x \in (-\infty, -5] \cup [7, +\infty). \]

Это и есть искомые значения \( x \).