ВАРИАНТ 1 1. Сфера задана уравнением: (x - 1) ^ 2 + y ^ 2 + (z - 2) ^ 2 = 9 а) выпишите координаты центра сферы и найдите ее радиус б) проверьте, принадлежит ли этой сфере точка А…

Рекомендую рассмотреть каждую задачу по очереди и внимательно проанализировать каждую часть. Давайте начнем с первого варианта:

ВАРИАНТ 1

1. Сфера задана уравнением:
   \((x - 1)^2 + y^2 + (z - 2)^2 = 9\)
   а) Координаты центра сферы и радиус:

   • Центр сферы \(C(1, 0, 2)\).
   • Радиус \(r = \sqrt{9} = 3\).

   б) Принадлежность точки А(1; 3; -1) к сфере:
   Подставим координаты точки в уравнение сферы:
   \((1 - 1)^2 + (3)^2 + (-1 - 2)^2 = 0 + 9 + 9 = 18\).
   Поскольку 18 не равно 9, точка А не принадлежит сфере.

2. Составьте уравнение сферы:
   Центр \(М(2; 0; 0)\) и радиус \(r = \sqrt{3}\):
   Уравнение будет: \((x - 2)^2 + y^2 + z^2 = 3\).

3. Уравнение сферы с центром в точке О(0; 1; -2), проходящей через C(-3; 1; 2):
   Сначала найдем радиус:
   \(r = \sqrt{(-3 - 0)^2 + (1 - 1)^2 + (2 + 2)^2} = \sqrt{9 + 0 + 16} = \sqrt{25} = 5\).
   Уравнение будет: \((x - 0)^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2 = 25\).

4. Приведите уравнение к стандартному виду:
   Уравнение:
   \(x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 2y = 2\)
   Приведем к стандартному виду:
   \(x^2 + 2x + y^2 - 2y + z^2 = 2\).
   Теперь сделаем полный квадрат:
   \((x + 1)^2 - 1 + (y - 1)^2 - 1 + z^2 = 2\)
   \((x + 1)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 4\).
   Центр: \(C(-1, 1, 0)\), радиус: \(r = \sqrt{4} = 2\).

ВАРИАНТ 2

1. Сфера задана уравнением:
   \((x - 4)^2 + (y + 2)^2 + z^2 = 4\)
   а) Координаты центра и радиус:

   • Центр \(C(4, -2, 0)\).
   • Радиус \(r = \sqrt{4} = 2\).

   б) Принадлежность точки А(4; 3; -1) к сфере:
   Подставим:
   \((4 - 4)^2 + (3 + 2)^2 + (-1)^2 = 0 + 25 + 1 = 26\).
   Точка не принадлежит сфере.

2. Составьте уравнение сферы:
   Центр \(Р(0; 2; 0)\) и радиус \(r = \sqrt{5}\):
   Уравнение: \((x - 0)^2 + (y - 2)^2 + z^2 = 5\).

3. Уравнение сферы с центром в точке О(0; 2; -1), проходящей через K(-1; -1; 0):
   Радиус:
   \(r = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (-1 - 2)^2 + (0 + 1)^2} = \sqrt{1 + 9 + 1} = \sqrt{11}\).
   Уравнение: \((x - 0)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 11\).

4. Приведите уравнение к стандартному виду:
   Уравнение:
   \(x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 2z = 7\)
   Приведем:
   \(x^2 - 2x + y^2 + z^2 + 2z = 7\).
   Полный квадрат:
   \((x - 1)^2 - 1 + y^2 + (z + 1)^2 - 1 = 7\)
   \((x - 1)^2 + y^2 + (z + 1)^2 = 9\).
   Центр \(C(1, 0, -1)\), радиус: \(r = 3\).

ВАРИАНТ 4

1. Сфера задана уравнением:
   \((x)^2 + (y + 3)^2 + (z - 2)^2 = 49\)
   а) Центр \(C(0, -3, 2)\), радиус \(r = 7\).

   б) Принадлежность точки А(3; 2; 1):
   \(3^2 + (2 + 3)^2 + (1 - 2)^2 = 9 + 25 + 1 = 35\).
   Точка не принадлежит сфере.

2. Уравнение сферы с центром B(2; 2; 0) и радиусом \(\sqrt{2}\):
   Уравнение: \((x - 2)^2 + (y - 2)^2 + z^2 = 2\).

3. Уравнение сферы с центром B(-2; 4; 0) и проходящей через C(-2; 4; 3):
   Радиус:
   \(r = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (4 - 4)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{0 + 0 + 9} = 3\).
   Уравнение: \((x + 2)^2 + (y - 4)^2 + z^2 = 9\).

4. Приведение уравнения к стандартному виду:
   Уравнение:
   \(x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y = 5\)
   Приведем:
   \(x^2 - 4x + y^2 + 2y + z^2 = 5\).
   Полный квадрат:
   \((x - 2)^2 - 4 + (y + 1)^2 - 1 + z^2 = 5\)
   \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 + z^2 = 10\).
   Центр \(C(2, -1, 0)\), радиус: \(r = \sqrt{10}\).

ВАРИАНТ 3

1. Сфера задана уравнением:
   \(x^2 + (y - 5)^2 + (z + 1)^2 = 25\)
   а) Центр \(C(0, 5, -1)\), радиус \(r = 5\).

   б) Принадлежность точки A(-1; 2; 4):
   \((-1)^2 + (2 - 5)^2 + (4 + 1)^2 = 1 + 9 + 25 = 35\).
   Точка не принадлежит сфере.

2. Уравнение сферы с центром E(1; 0; -2) и радиусом \(r = 2\sqrt{6}\):
   Уравнение:
   \((x - 1)^2 + y^2 + (z + 2)^2 = 24\).

3. Уравнение сферы с центром O(0; -4; 9) и проходящей через M(6; -1; 0):
   Радиус:
   \(r = \sqrt{(6 - 0)^2 + (-1 + 4)^2 + (0 - 9)^2} = \sqrt{36 + 9 + 81} = \sqrt{126}\).
   Уравнение: \((x - 0)^2 + (y + 4)^2 + (z - 9)^2 = 126\).

4. Приведение уравнения к стандартному виду:
   Уравнение:
   \(x^2 + y^2 + z^2 + 2y - 4z = 4\)
   Приведем:
   \(x^2 + (y^2 + 2y) + (z^2 - 4z) = 4\).
   Полный квадрат:
   \((y + 1)^2 - 1 + (z - 2)^2 - 4 = 4\)
   \((x)^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = 9\).
   Центр: \(C(0, -1, 2)\), радиус: \(r = 3\).

Если у вас есть дополнительные вопросы или вы хотите разобрать что-то конкретное более подробно, не стесняйтесь обращаться!