Найти угол между диагоналями параллелограмма построенного на векторах a = (1;2) и Вектор b =(2;-1)

Чтобы найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a и b, нужно сначала определить векторы диагоналей.

1. Векторы диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a и b, можно записать как:

   • Первая диагональ: d₁ = a + b
   • Вторая диагональ: d₂ = a - b

   Подставим известные значения векторов a и b:

   • a = (1; 2)
   • b = (2; -1)

   Тогда:

   • d₁ = (1; 2) + (2; -1) = (1 + 2; 2 - 1) = (3; 1)
   • d₂ = (1; 2) - (2; -1) = (1 - 2; 2 - (-1)) = (-1; 3)

2. Теперь найдем угол между векторами d₁ и d₂. Для этого используем формулу для косинуса угла между векторами: \[ \cos(\theta) = \frac{d₁ \cdot d₂}{|d₁| |d₂|} \] где d₁ • d₂ — это скалярное произведение векторов, а |d₁| и |d₂| — их длины.

3. Сначала вычислим скалярное произведение: \[ d₁ \cdot d₂ = (3; 1) \cdot (-1; 3) = 3 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 = -3 + 3 = 0 \]

4. Затем найдем длины векторов: \[ |d₁| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \] \[ |d₂| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \]

5. Подставляем все в формулу: \[ \cos(\theta) = \frac{0}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{0}{10} = 0 \]

6. Когда косинус угла равен 0, это означает, что угол равен 90 градусам.

Таким образом, угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a и b, равен 90 градусов.