Найдите наименьшее значение функции у=х^3-3х^2+19 на отрезке [1;3]

Чтобы найти наименьшее значение функции \( y = x^3 - 3x^2 + 19 \) на отрезке \([1; 3]\), необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найдем производную функции. Это поможет определить критические точки. \[ y' = 3x^2 - 6x \]

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \[ 3x^2 - 6x = 0 \] Вынесем общий множитель: \[ 3x(x - 2) = 0 \] Это дает: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 2 \]

3. Определяем, находятся ли найденные критические точки на отрезке. Значение \( x = 0 \) находится за пределами отрезка \([1; 3]\), а \( x = 2 \) находится внутри отрезка.

4. Теперь нужно вычислить значение функции в критической точке и на границах отрезка:

   • Для \( x = 1 \): \[ y(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 19 = 1 - 3 + 19 = 17 \]
   • Для \( x = 2 \): \[ y(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 19 = 8 - 12 + 19 = 15 \]
   • Для \( x = 3 \): \[ y(3) = 3^3 - 3 \cdot 3^2 + 19 = 27 - 27 + 19 = 19 \]

5. Сравним значения функции:

   • \( y(1) = 17 \)
   • \( y(2) = 15 \)
   • \( y(3) = 19 \)

Наименьшее значение на отрезке \([1; 3]\) равно 15 и достигается при \( x = 2 \).

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке \([1; 3]\) равно 15.