решите методом замены переменной 6/(х-3)²-11/х-3-2=0

Давайте решим уравнение \( \frac{6}{(x-3)^2} - \frac{11}{x-3} - 2 = 0 \) методом замены переменной.

1. Замена переменной: Мы можем использовать замену \( y = x - 3 \). Тогда уравнение перепишется как: \[ \frac{6}{y^2} - \frac{11}{y} - 2 = 0 \]

2. Умножение на \( y^2 \): Чтобы избавиться от дробей, умножим всё уравнение на \( y^2 \) (при условии, что \( y \neq 0 \)): \[ 6 - 11y - 2y^2 = 0 \] Сначала упорядочим уравнение: \[ -2y^2 - 11y + 6 = 0 \] Умножим на -1 (чтобы сделать ведущий коэффициент положительным): \[ 2y^2 + 11y - 6 = 0 \]

3. Решение квадратного уравнения: Используем формулу для решения квадратного уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Где \( a = 2 \), \( b = 11 \), \( c = -6 \).

   Сначала вычислим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 121 + 48 = 169 \]

   Теперь подставим в формулу: \[ y = \frac{-11 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 2} \] \[ y = \frac{-11 \pm 13}{4} \]

   Теперь вычислим два случая:

   1. \( y_1 = \frac{-11 + 13}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
   2. \( y_2 = \frac{-11 - 13}{4} = \frac{-24}{4} = -6 \)

4. Обратная замена: Напомню, что \( y = x - 3 \).

   1. Для \( y_1 = \frac{1}{2} \): \[ \frac{1}{2} = x - 3 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2} + 3 = \frac{7}{2} \]
   2. Для \( y_2 = -6 \): \[ -6 = x - 3 \quad \Rightarrow \quad x = -6 + 3 = -3 \]

5. Ответ: Таким образом, решения уравнения: \[ x_1 = \frac{7}{2}, \quad x_2 = -3 \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другим материалом, пожалуйста, дайте знать!