У Полины есть волшебная шоколадка в форме клетчатой лесенки со стороной 10 (см. рисунок), в каждой дольке своя начинка. Каждую минуту Полина отламывает верхний ряд долек шоколадки, поворачивает его на 90 градусов против часовой стрелки и приставляет её к оставшейся части в виде столбца слева, как показано на рисунке (после этого столбец слипается с другой частью, и снова получается цельная лесенка). Как только каждая долька вернётся на то же место, в котором она была изначально, Полина съест всю шоколадку. Через сколько минут это произойдёт? б) У Саши есть такая же волшебная шоколадка. Он каждую минуту отламывает верхний ряд долек шоколадки, поворачивает его на 90 градусов по часовой стрелке и приставляет её к оставшейся части в виде столбца слева, как показано на рисунке. Как только каждая долька вернётся на то же место, в котором она была изначально, Саша съест шоколадку. Через сколько минут это произойдёт?

Для решения этой задачи мы можем рассмотреть шоколадку как матрицу с размером 10 на 10. Когда Полина и Саша отламывают верхний ряд дольек и поворачивают его, каждая долька перемещается на другое место.

1. Полина

Полина поворачивает верхний ряд дольек на 90 градусов против часовой стрелки.

• В этом случае, после каждого поворота верхний ряд дольек занимает новые позиции в оставшейся части шоколадки.
• Чтобы понять, когда каждая долька вернётся на своё место, нам нужно рассмотреть полный цикл движения всех дольек.

Каждая долька делает полный круг по клеткам. Учитывая, что шоколадка имеет размер 10, каждая долька вернётся на своё исходное место через количество поворотов, равное количеству порядков, которые можно найти при зацикливании размерности.

Поскольку каждая долька возвращается на свои исходные позиции после 4 полных поворотов (90 градусов), и учитывая, что в каждом раунде она перемещается на 10 мест по горизонтали или вертикали, нам нужно будет совершить 40 поворотов, чтобы вся шоколадка вернулась обратно.

Таким образом, Полина будет ждать 40 минут.

2. Саша

Саша тоже не отстает. Он, в свою очередь, поворачивает верхний ряд на 90 градусов по часовой стрелке.

• Процессы возвращения дольки на место схожи с процессом Полины, но направление поворота в другую сторону.

Так как шоколадка симметрична, и каждая долька также вернётся на своё место через 4 полных поворота, мы можем сделать тот же расчёт.

Саша также будет ждать 40 минут, чтобы каждая долька вернулась на своё исходное место.

Таким образом, оба получат свои шоколадки обратно через 40 минут.