показать что функция у=е-х (2cos5x-3sin5x) удовлетвуряет уравнению у"+2у'+26у=0
Чтобы показать, что функция \( y = e^{-x}(2\cos(5x) - 3\sin(5x)) \) удовлетворяет уравнению \( y'' + 2y' + 26y = 0 \), необходимо вычислить первую и вторую производные функции \( y \), а затем подставить их в уравнение.
- Найдем первую производную \( y' \):
Используем правило произведения: \[ y' = (e^{-x})' (2\cos(5x) - 3\sin(5x)) + e^{-x} (2\cos(5x) - 3\sin(5x))' \] Первую часть: \[ (e^{-x})' = -e^{-x} \] Для второй части применим правило произведения для \( 2\cos(5x) - 3\sin(5x) \): \[ (2\cos(5x))' = -10\sin(5x), \quad (-3\sin(5x))' = -15\cos(5x) \] Таким образом, \[ (2\cos(5x) - 3\sin(5x))' = -10\sin(5x) - 15\cos(5x) \]
Теперь подставим: \[ y' = -e^{-x}(2\cos(5x) - 3\sin(5x)) + e^{-x}(-10\sin(5x) - 15\cos(5x)) \] \[ y' = e^{-x}(-2\cos(5x) + 3\sin(5x) - 10\sin(5x) - 15\cos(5x)) \] \[ y' = e^{-x}(-17\cos(5x) - 7\sin(5x)) \]
- Теперь найдем вторую производную \( y'' \):
Снова используем правило произведения: \[ y'' = (e^{-x})' (-17\cos(5x) - 7\sin(5x)) + e^{-x}(-17\cos(5x) - 7\sin(5x))' \] Первую часть уже знаем: \[ (e^{-x})' = -e^{-x} \] Теперь найдём производную второй части: \[ (-17\cos(5x))' = 85\sin(5x), \quad (-7\sin(5x))' = -35\cos(5x) \] Итак, \[ (-17\cos(5x) - 7\sin(5x))' = 85\sin(5x) - 35\cos(5x) \]
Теперь подставим: \[ y'' = -e^{-x}(-17\cos(5x) - 7\sin(5x)) + e^{-x}(85\sin(5x) - 35\cos(5x)) \] \[ y'' = e^{-x}(17\cos(5x) + 7\sin(5x) + 85\sin(5x) - 35\cos(5x)) \] \[ y'' = e^{-x}(-18\cos(5x) + 92\sin(5x)) \]
- Теперь подставим \( y \), \( y' \) и \( y'' \) в уравнение: \[ y'' + 2y' + 26y = 0 \] Соберём все члены: \[ e^{-x}(-18\cos(5x) + 92\sin(5x)) + 2e^{-x}(-17\cos(5x) - 7\sin(5x)) + 26e^{-x}(2\cos(5x) - 3\sin(5x)) = 0 \]
Теперь упрощаем: \[ e^{-x}((-18 - 34 + 52)\cos(5x) + (92 - 14 - 78)\sin(5x)) = 0 \] \[ e^{-x} = 0 \Rightarrow (-18 - 34 + 52) = 0 \quad и \quad (92 - 14 - 78) = 0 \] Проверим: \[ 0 \cos(5x) + 0 \sin(5x) = 0 \] Таким образом, уравнение выполняется.
Таким образом, функция \( y = e^{-x}(2\cos(5x) - 3\sin(5x)) \) действительно удовлетворяет уравнению \( y'' + 2y' + 26y = 0 \).
