Укажите последние 3 цифры в записи числа 7^(999...99) Где всего 1000 девяток.
Чтобы найти последние три цифры числа \( 7^{999...99} \), где в записи 999...99 всего 1000 девяток, мы можем воспользоваться методом сравнительного анализа по модулю 1000.
Сначала запишем число, которое нам нужно найти: \( n = 7^{10^{1000} - 1} \).
Сначала найдем \( 7^n \mod 8 \): \( 7 \equiv -1 \mod 8 \), поэтому: \[ 7^{10^{1000} - 1} \mod 8 \equiv (-1)^{10^{1000} - 1} \equiv -1 \equiv 7 \mod 8. \]
Теперь найдем \( 7^n \mod 125 \): Поскольку \( 125 = 5^3 \), мы используем теорему Эйлера. Сначала найдем \( \phi(125) \): \[ \phi(125) = 125 \left(1 - \frac{1}{5}\right) = 125 \cdot \frac{4}{5} = 100. \] Теперь нужно найти \( 10^{1000} - 1 \mod 100 \): \[ 10^{1000} \mod 100 = 0 \quad \text{(поскольку \( 10^2 = 100 \)).} \] Значит: \[ 10^{1000} - 1 \equiv -1 \mod 100. \] Теперь находим \( 7^{-1} \mod 125 \). Для этого можем использовать расширенный алгоритм Евклида: \[ 125 = 7 \cdot 17 + 6, \] \[ 7 = 6 \cdot 1 + 1, \] \[ 6 = 1 \cdot 6 + 0. \] Следовательно, \( 1 \equiv 7 - 1 \cdot 6 \). Подставим \( 6 = 125 - 7 \cdot 17 \): \[ 1 \equiv 7 + 1 \cdot (125 - 7 \cdot 17) \equiv 18 \cdot 7 - 1 \cdot 125. \] Таким образом, \( 7^{-1} \equiv 18 \mod 125 \).
Теперь возвращаемся к нашему выражению: \[ 7^{10^{1000} - 1} \equiv 7^{-1} \equiv 18 \mod 125. \]
Теперь у нас есть система остатков: \[ x \equiv 7 \mod 8, \] \[ x \equiv 18 \mod 125. \]
Используем метод подстановки: Обозначим \( x = 125k + 18 \). Подставляем в первое уравнение: \[ 125k + 18 \equiv 7 \mod 8. \] Поскольку \( 125 \equiv 5 \mod 8 \): \[ 5k + 2 \equiv 7 \mod 8 \implies 5k \equiv 5 \mod 8 \implies k \equiv 1 \mod 8. \] Таким образом: \[ k = 8m + 1. \] Подставляя обратно, получаем: \[ x = 125(8m + 1) + 18 = 1000m + 143. \]
Таким образом, последние три цифры числа \( x \) равны 143.
Ответ: последние три цифры числа \( 7^{999...99} \) (где всего 1000 девяток) равны 143.
