Сколькими способами можно разбить девять человек на три тройки?
Чтобы определить, сколькими способами можно разбить девять человек на три тройки, нам следует воспользоваться комбинаторикой.
Сначала выберем первую тройку: Из девяти человек мы можем выбрать троих. Это можно сделать с помощью комбинаций. Формула для числа сочетаний:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Применяя это к нашему случаю: \[ C(9, 3) = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84 \]
Теперь выбираем вторую тройку: У нас остается 6 человек, из которых нужно выбрать троих: \[ C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \]
Остальная группа: Третью тройку мы можем получить автоматически из оставшихся троих, поэтому количество способов выбора третей тройки равно 1.
Теперь мы можем перемножить полученные значения: \[ 84 \times 20 \times 1 = 1680 \]
Однако, каждая группа троек может быть расставлена в любом порядке, и поскольку порядок не имеет значения (т.е. тройки {A, B, C} и {D, E, F} - это одно и то же, что {D, E, F} и {A, B, C}), нам нужно поделить на количество перестановок трех троек, что равно \(3!\):
\[ 3! = 6 \]
Таким образом, окончательное количество способов разбить девять человек на три тройки будет:
\[ \frac{1680}{6} = 280 \]
Итак, девять человек можно разбить на три тройки 280 способами.
