найди точку максимума функции y=x3+14x2+49x+18
Чтобы найти точку максимума функции \( y = x^3 + 14x^2 + 49x + 18 \), необходимо выполнить следующие шаги:
- Найти производную функции: Для начала найдем первую производную функции, которая помогает определить критические точки.
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 14x^2 + 49x + 18) = 3x^2 + 28x + 49 \]
- Найти критические точки: Критические точки находятся, когда первая производная равна нулю:
\[ 3x^2 + 28x + 49 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 28^2 - 4 \cdot 3 \cdot 49 = 784 - 588 = 196 \]
Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных корня.
- Найти корни уравнения:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-28 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{-28 \pm 14}{6} \]
Теперь вычислим корни:
\[ x_1 = \frac{-28 + 14}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3} \] \[ x_2 = \frac{-28 - 14}{6} = \frac{-42}{6} = -7 \]
Таким образом, критические точки функции - это \( x_1 = -\frac{7}{3} \) и \( x_2 = -7 \).
- Определить, является ли точка максимумом или минимумом: Для этого расчитаем вторую производную:
\[ y'' = \frac{d^2}{dx^2}(x^3 + 14x^2 + 49x + 18) = 6x + 28 \]
Теперь подставим критические точки:
Для \( x = -\frac{7}{3} \): \[ y''\left(-\frac{7}{3}\right) = 6\left(-\frac{7}{3}\right) + 28 = -14 + 28 = 14 > 0 \] Это говорит о том, что в точке \( x = -\frac{7}{3} \) функция имеет минимум.
Для \( x = -7 \): \[ y''(-7) = 6(-7) + 28 = -42 + 28 = -14 < 0 \] Это говорит о том, что в точке \( x = -7 \) функция имеет максимум.
- Находим значение функции в точке максимума:
\[ y(-7) = (-7)^3 + 14(-7)^2 + 49(-7) + 18 \] \[ = -343 + 686 - 343 + 18 = 18 \]
Таким образом, точка максимума функции \( y = x^3 + 14x^2 + 49x + 18 \) находится в \( x = -7 \) и принимает значение \( y = 18 \).
