В треугольнике SPO SP=8 см, PO=3√2 см, а его площадь равна 12 см2 . Найдите третью сторону треугольника, если известно, что угол P- острый.

Для решения задачи воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и угол между ними:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C), \]

где \( S \) — площадь, \( a \) и \( b \) — длины двух сторон треугольника, \( C \) — угол между этими сторонами.

В нашем случае возьмем стороны \( SP = a = 8 \) см и \( PO = b = 3\sqrt{2} \) см. Площадь треугольника \( S = 12 \) см². Подставим известные значения в формулу:

\[ 12 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sin(P). \]

Упростим уравнение:

\[ 12 = 12\sqrt{2} \cdot \sin(P). \]

Отсюда получаем:

\[ \sin(P) = \frac{12}{12\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}. \]

Следовательно, угол \( P = 45^\circ \) (так как он острый).

Теперь найдем третью сторону \( SO \) с помощью теоремы косинусов:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C), \]

где \( c = SO \), \( a = SP \), \( b = PO \), \( C = P \).

Подставим известные длины и \( \cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \):

\[ SO^2 = 8^2 + (3\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 8 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}. \]

Вычислим \( SO^2 \):

\[ SO^2 = 64 + 18 - 2 \cdot 8 \cdot 3 = 64 + 18 - 48 = 34. \]

Следовательно, находим сторону \( SO \):

\[ SO = \sqrt{34} \text{ см}. \]

Таким образом, третья сторона треугольника \( SO \) равна \( \sqrt{34} \) см.