Прямоугольную трапецию с основаниями 4 и 9,высотой 12 вращают вокруг меньшей боковой стороны.Найдите площадь полной поверхности тела вращения

Чтобы найти площадь полной поверхности тела вращения, образованного вращением прямоугольной трапеции вокруг меньшей боковой стороны, следуем следующим шагам.

1. Определим параметры трапеции:

   • Основания: \(a = 9\) (большее основание), \(b = 4\) (меньшее основание).
   • Высота: \(h = 12\).

2. Найдём длину боковых сторон. В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон вертикальна (это высота), а другая является наклонной. Для этого используем теорему Пифагора.

   Давайте сначала найдем длину наклонной боковой стороны \(c\): \[ c = \sqrt{h^2 + (a - b)^2} = \sqrt{12^2 + (9 - 4)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13. \]

3. Площадь боковой поверхности. Площадь боковой поверхности тела вращения, образованного вращением, равна произведению длины основания на высоту (в этом случае это наклонная сторона): \[ S_{боковая} = \pi \cdot b \cdot h = \pi \cdot 4 \cdot 12 = 48\pi. \]

4. Площадь круговых оснований. После вращения образуются два круглых основания с радиусами, соответствующими половинам оснований. Для меньшего основания (радиус \(R_1\)) и большего основания (радиус \(R_2\)): \[ R_1 = \frac{b}{2} = \frac{4}{2} = 2, \] \[ R_2 = \frac{a}{2} = \frac{9}{2} = 4.5. \]

   Площадь двух круговых оснований: \[ S_{основания} = \pi R_1^2 + \pi R_2^2 = \pi (2^2) + \pi (4.5^2) = \pi (4 + 20.25) = 24.25\pi. \]

5. Теперь находим полную площадь поверхности. Она складывается из боковой поверхности и площадей оснований: \[ S_{полная} = S_{боковая} + S_{основания} = 48\pi + 24.25\pi = 72.25\pi. \]

Таким образом, площадь полной поверхности тела вращения составляет \(72.25\pi\).