3. Периметрі 18 м, ал ауданы 20 м² болатын тік төртбұрыштың қабырғаларын теңдеулер жүйесін құрып табыңыз.
Для решения задачи о нахождении сторон прямоугольника, периметр которого равен 18 м, а площадь равна 20 м², мы можем начать с введения обозначений.
Обозначим длину прямоугольника как \( a \), а ширину как \( b \). Тогда у нас есть две основные формулы:
Периметр: \[ P = 2a + 2b = 18. \]
Площадь: \[ S = a \cdot b = 20. \]
Теперь, используя первую формулу, можем выразить одну из переменных через другую. Из формулы периметра выразим \( b \):
\[ 2a + 2b = 18 \implies a + b = 9 \implies b = 9 - a. \]
Теперь подставим это значение для \( b \) во второе уравнение:
\[ a \cdot (9 - a) = 20. \]
Распишем это уравнение:
\[ 9a - a^2 = 20. \]
Перепишем его в стандартную форму:
\[ a^2 - 9a + 20 = 0. \]
Теперь это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта или методом подбора. Дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1. \]
Теперь находим корни уравнения:
\[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm 1}{2}. \]
Таким образом, корни будут:
- \( a_1 = \frac{10}{2} = 5 \)
- \( a_2 = \frac{8}{2} = 4 \)
Теперь подставим каждое значение \( a \) для нахождения \( b \):
Если \( a = 5 \): \[ b = 9 - 5 = 4. \]
Если \( a = 4 \): \[ b = 9 - 4 = 5. \]
Таким образом, стороны прямоугольника \( a \) и \( b \) равны 5 м и 4 м.
В итоге, получаем систему уравнений:
\[ \begin{cases} 2a + 2b = 18, \\ ab = 20. \end{cases} \]
Стороны прямоугольника: 5 м и 4 м.
