Равномерно нагретый металлический шар радиуса R помещают в поток холодной воды (температура шара меньше 100 °С – вода не вскипает) и измеряют зависимость температуры в центре шара от времени. Начальная разность температур шара и воды равна Δt. Оказалось, что в центре она уменьшается вдвое (становится равной Δt/2) за время τ, причем, как показали эксперименты, это время не зависит от Δt. Поскольку шар находится в потоке, температуру окружающей его воды можно считать неизменной. Указание. Распределение тепловых потоков, возникающих в неоднородно нагретом теле, управляется законом теплопроводности, который можно сформулировать так: количество тепла, проходящего в единицу времени через плоскую стенку, равно ΔQΔτ=λSΔtd, где S – площадь стенки, d – ее толщина, Δt – разность температур между ее поверхностями, λ – так называемый коэффициент теплопроводности материала этой стенки. Чему будет равно это время для шара радиуса 2R, сделанного из того же материала?

Для решения задачи воспользуемся законами теплопроводности и методом аналогии. Мы знаем, что для металлического шара, радиус которого обозначим как \( R \), время \( \tau \) для уменьшения разности температур до \( \Delta t/2 \) не зависит от начальной разности температур \( \Delta t \).

В общем случае, для любого тела, подверженного теплопередаче, время, необходимое для достижения определенного изменения температуры, можно выразить через геометрические параметры тела и свойства материала.

1. Объем и поверхность шара:

   • Объем шара радиуса \( R \) равен \( V = \frac{4}{3} \pi R^3 \).
   • Площадь поверхности шара равна \( S = 4 \pi R^2 \).

2. Анализ теплопередачи:

   • Поток тепла, переносаемый через поверхность, может быть выражен как: \[ \Delta Q = \lambda S \frac{\Delta t}{d} \]
   • Для шара, радиус которого \( R \), температура в центре шара начинает снижаться из-за потока тепла, и как правило, внутренняя температура будет уменьшаться по радиусу. Однако процесс первичной теплопередачи можно свести к эквивалентному времени, который будет зависеть от площади и объема.

3. Зависимость времени от радиуса: При изменении радиуса шара до \( 2R \):

   • Новый объем шара: \[ V' = \frac{4}{3} \pi (2R)^3 = \frac{32}{3} \pi R^3 = 32 V \]
   • Новая площадь поверхности шара: \[ S' = 4 \pi (2R)^2 = 16 \pi R^2 = 4S \]

4. Сравнение времени: Время, необходимое для уменьшения температуры, будет пропорционально объему и обратно пропорционально площади поверхности, согласно закону теплопроводности.

   Таким образом: \[ \tau' \propto \frac{V'}{S'} = \frac{32 V}{4 S} = 8 \frac{V}{S} \] Поскольку первоначальное время \( \tau \) связано с \( V/S \), получаем: \[ \tau' = 8 \tau \]

Таким образом, время уменьшения температуры в центре шара радиусом \( 2R \) составит \( 8\tau \).