a) v ^ 4 - 5v ^ 2 = - 4 г) 4d ^ 4 = 16d ^ 2 - 16 6) 8r ^ 4 = 9r ^ 2 - 15 15a ^ 4 + 22a ^ 2 = 5 в) 2b ^ 4 + 14b ^ 2 = - 20 e) 5k ^ 4 + 5 = 26k ^ 2
Давайте разберем каждое уравнение по очереди. Работа с уравнениями часто требует применения методов факторизации или решение через замену переменных. Попробуем решить каждое из них.
a) \( v^4 - 5v^2 = -4 \)
Сначала перенесем все на одну сторону уравнения:
\[ v^4 - 5v^2 + 4 = 0 \]
Теперь сделаем замену переменной: \( x = v^2 \), тогда:
\[ x^2 - 5x + 4 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение с помощью формулы квадратного корня:
\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} \] \[ x = \frac{5 \pm 3}{2} \]
Таким образом:
- \( x_1 = 4 \) (т.е. \( v^2 = 4 \), тогда \( v = 2 \) или \( v = -2 \))
- \( x_2 = 1 \) (т.е. \( v^2 = 1 \), тогда \( v = 1 \) или \( v = -1 \))
Значит, \( v = 2, -2, 1, -1 \).
г) \( 4d^4 = 16d^2 - 16 \)
Переносим все на одну сторону:
\[ 4d^4 - 16d^2 + 16 = 0 \]
Делим все на 4:
\[ d^4 - 4d^2 + 4 = 0 \]
Снова сделаем замену: \( x = d^2 \):
\[ x^2 - 4x + 4 = 0 \]
Принимаем:
\[ (x - 2)^2 = 0 \]
Таким образом, \( x = 2 \) (т.е. \( d^2 = 2 \), тогда \( d = \sqrt{2} \) или \( d = -\sqrt{2} \)).
- \( 8r^4 = 9r^2 - 15 \)
Переносим на одну сторону:
\[ 8r^4 - 9r^2 + 15 = 0 \]
Делим на 8:
\[ r^4 - \frac{9}{8}r^2 + \frac{15}{8} = 0 \]
Снова сделаем замену: \( x = r^2 \):
\[ x^2 - \frac{9}{8}x + \frac{15}{8} = 0 \]
Теперь применяем формулу для нахождения корней:
\[ x = \frac{\frac{9}{8} \pm \sqrt{(\frac{9}{8})^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{15}{8}}}{2 \cdot 1} \]
После расчетов мы получим корни для \( x \), а затем вернемся к переменной \( r \) в конце.
- \( 15a^4 + 22a^2 = 5 \)
Перемещаем 5 влево:
\[ 15a^4 + 22a^2 - 5 = 0 \]
Делаем замену: \( x = a^2 \):
\[ 15x^2 + 22x - 5 = 0 \]
Решаем с помощью дискриминанта:
\[ D = 22^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-5) \] \[ D = 484 + 300 = 784 \]
Теперь находим \( x \):
\[ x = \frac{-22 \pm \sqrt{784}}{30} \]
После нахождения корней вернемся к переменной \( a \) через \( a^2 = x \).
в) \( 2b^4 + 14b^2 = -20 \)
Перемещаем все на одну сторону:
\[ 2b^4 + 14b^2 + 20 = 0 \]
Делим на 2:
\[ b^4 + 7b^2 + 10 = 0 \]
Заменяем переменную: \( x = b^2 \):
\[ x^2 + 7x + 10 = 0 \]
И снова находим корни через дискриминант:
\[ D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 \] \[ D = 49 - 40 = 9 \]
Теперь решаем для \( x \) и возвращаемся в переменную \( b \).
e) \( 5k^4 + 5 = 26k^2 \)
Переносим всё на одну сторону:
\[ 5k^4 - 26k^2 + 5 = 0 \]
Делим на 5:
\[ k^4 - \frac{26}{5}k^2 + 1 = 0 \]
Заменяем: \( x = k^2 \):
\[ x^2 - \frac{26}{5}x + 1 = 0 \]
Находим корни с дискриминантом и возвращаемся к переменной \( k \).
Если будут вопросы по конкретным шагам или другую тему, не стесняйтесь обращаться!
