-x²-6х+9<0

Чтобы решить неравенство \(-x^2 - 6x + 9 < 0\), давайте сначала преобразуем его для более удобного анализа.

1. Умножим неравенство на \(-1\) (при этом знак неравенства изменится): \[ x^2 + 6x - 9 > 0 \]

2. Теперь нам нужно найти корни квадратного уравнения \(x^2 + 6x - 9 = 0\). Для этого используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 36 + 36 = 72 \]

   Дискриминант положителен, что значит, у уравнения есть два различных корня.

3. Найдем корни с помощью формулы: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{72}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 6\sqrt{2}}{2} = -3 \pm 3\sqrt{2} \]

   Таким образом, корни: \[ x_1 = -3 + 3\sqrt{2}, \quad x_2 = -3 - 3\sqrt{2} \]

4. Теперь у нас есть два корня, и мы можем определить промежутки, на которых наше неравенство выполняется. Корни делят числовую ось на три интервала:

   • \( (-\infty, -3 - 3\sqrt{2}) \)
   • \( (-3 - 3\sqrt{2}, -3 + 3\sqrt{2}) \)
   • \( (-3 + 3\sqrt{2}, +\infty) \)

5. Нужно протестировать знаки в каждом из интервалов, подставив, например, точку из каждого интервала в неравенство:

   • Для интервала \((- \infty, -3 - 3\sqrt{2})\): выберем \(x = -10\). \[ (-10)^2 + 6(-10) - 9 = 100 - 60 - 9 = 31 > 0 \quad (\text{истинно}) \]
   • Для интервала \((-3 - 3\sqrt{2}, -3 + 3\sqrt{2})\): выберем \(x = -3\). \[ (-3)^2 + 6(-3) - 9 = 9 - 18 - 9 = -18 < 0 \quad (\text{неистинно}) \]
   • Для интервала \((-3 + 3\sqrt{2}, +\infty)\): выберем \(x = 0\). \[ 0^2 + 6(0) - 9 = -9 < 0 \quad (\text{неистинно}) \]

На основе анализа промежутков, неравенство \( x^2 + 6x - 9 > 0 \) будет выполняться в интервале \((- \infty, -3 - 3\sqrt{2})\) и \((-3 + 3\sqrt{2}, +\infty)\).

Таким образом, окончательное решение неравенства \(-x^2 - 6x + 9 < 0\) будет: \[ x \in (-\infty, -3 - 3\sqrt{2}) \cup (-3 + 3\sqrt{2}, +\infty) \]