(1+√3i)³
Чтобы вычислить выражение \((1+\sqrt{3}i)^3\), воспользуемся формулой бинома Ньютона:
\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \]
В нашем случае \(a = 1\), \(b = \sqrt{3}i\), и \(n = 3\). Применяя формулу, мы можем разложить выражение:
\[ (1 + \sqrt{3}i)^3 = \sum_{k=0}^{3} \binom{3}{k} (1)^{3-k} (\sqrt{3}i)^k \]
Теперь посчитаем каждое слагаемое по отдельности:
Для \(k = 0\): \[ \binom{3}{0} (1)^3 (\sqrt{3}i)^0 = 1 \]
Для \(k = 1\): \[ \binom{3}{1} (1)^2 (\sqrt{3}i)^1 = 3 \cdot \sqrt{3}i \]
Для \(k = 2\): \[ \binom{3}{2} (1)^1 (\sqrt{3}i)^2 = 3 \cdot (\sqrt{3}i)^2 = 3 \cdot (-3) = -9 \]
Для \(k = 3\): \[ \binom{3}{3} (1)^0 (\sqrt{3}i)^3 = 1 \cdot (\sqrt{3}i)^3 = \sqrt{3}^3 \cdot i^3 = 3\sqrt{3} \cdot (-i) = -3\sqrt{3}i \]
Теперь сложим все слагаемые:
\[ 1 + 3\sqrt{3}i - 9 - 3\sqrt{3}i \]
Объединим действительные и мнимые части:
\[ (1 - 9) + (3\sqrt{3}i - 3\sqrt{3}i) = -8 + 0i \]
Таким образом, окончательный ответ:
\[ (1+\sqrt{3}i)^3 = -8 \]
