Массивный маленький шарик подвешен на абсолютно неупругой невесомой нерастяжимой нити. Шарик поднимают выше точки подвеса так, чтобы нить была натянута и составляла угол α с горизонтом, а затем отпускают без начальной скорости. При каких α шарик, после того как опустится донизу, сможет вновь подняться выше точки подвеса?

Для решения этой задачи нужно учитывать закон сохранения энергии и условия, при которых шарик сможет подняться выше точки подвеса после освобождения.

Шарик, когда он находится на высоте, имеет потенциальную энергию, равную \( mgh \), где \( h \) — вертикальная высота, на которую шарик поднят, \( m \) — масса шарика, \( g \) — ускорение свободного падения.

Когда шарик отпускается, он будет терять потенциальную энергию и приобретать кинетическую, пока не достигнет самой низкой точки. В этой точке вся потенциальная энергия преобразуется в кинетическую. Таким образом, системе нужна достаточная кинетическая энергия для того, чтобы преодолеть высоту точки подвеса после свободного падения.

Состояние, при котором шарик сможет подняться выше точки подвеса после достижения самой низкой точки, зависит от угла \( \alpha \). Чтобы шарик смог подняться выше точки подвеса, он должен иметь достаточную скорость в самой низкой точке, когда нить натянута.

Необходимо выполнить анализ:

1. Найдем высоту, на которую поднимается шарик. Если нить делает угол \( \alpha \) с горизонтом, то, поднимаясь на высоту \( h \), шарик смещается по вертикали на \( h = L (1 - \cos(\alpha)) \), где \( L \) — длина нити.

2. Потенциальная энергия в начале равна \( mgh \). Заменьшим это выражение: \[ E_p = mgL(1 - \cos(\alpha)) \]

3. В самой низкой точке вся потенциальная энергия превращается в кинетическую, материальная точка после того, как достигнет низа, будет иметь такую кинетическую энергию: \[ E_k = \frac{1}{2} mv^2 \] где \( v \) — скорость шарика в низшей точке.

4. При уравнении сохранения энергии: \[ mgL(1 - \cos(\alpha)) = \frac{1}{2} mv^2 \] После сокращения \( m \): \[ gL(1 - \cos(\alpha)) = \frac{1}{2} v^2 \]

5. Этот шарик после этого необходимо сделать так, чтобы его скорость была достаточна для подъёма. При подъёме, высота, которую он должен преодолеть, равна длине нити \( L \).

Для того чтобы шарик мог подняться на высоту \( L \), кинетическая энергия в низкой точке должна быть равна потенциальной энергии на высоте \( L \): \[ \frac{1}{2} mv^2 \geq mgL \] Подставим из предыдущего соотношения: \[ gL(1 - \cos(\alpha)) \geq mgL \]

6. Сокращая \( mgL \) (при \( L > 0 \)): \[ 1 - \cos(\alpha) \geq 1 \] Это неравенство не может быть соблюдено в случае \( \alpha \) в пределах от 0 до 180 градусов, особенным образом оно требует, чтобы \( \cos(\alpha) \) было меньше или равно нулю, что требует, чтобы \( \alpha \) было равным или большим, чем 90 градусов.

Таким образом, правильный ответ: Шарик сможет вновь подняться выше точки подвеса, если угол α равен или больше 90 градусов.