Найдите наименьшее значение выражения x+16/x при x>0

Для нахождения наименьшего значения выражения \( y = x + \frac{16}{x} \) при \( x > 0 \) можно использовать метод нахождения производной.

1. Найдите производную: \[ y' = 1 - \frac{16}{x^2} \]

2. Приравняйте производную к нулю: \[ 1 - \frac{16}{x^2} = 0 \] Переносим \(\frac{16}{x^2}\) на другую сторону: \[ \frac{16}{x^2} = 1 \]

3. Решите это уравнение: Умножим обе стороны на \(x^2\): \[ 16 = x^2 \] Отсюда: \[ x = 4 \] (так как \(x > 0\)).

4. Проверим, является ли эта точка минимумом: Найдите вторую производную: \[ y'' = \frac{32}{x^3} \] Так как \(y'' > 0\) при \(x > 0\), это означает, что точка \(x = 4\) является минимумом.

5. Найдите значение функции в этой точке: \[ y(4) = 4 + \frac{16}{4} = 4 + 4 = 8 \]

Таким образом, наименьшее значение выражения \( x + \frac{16}{x} \) при \( x > 0 \) равно 8.