Найти точки экстремума y=0,2x⁵ - 4x² - 3
Чтобы найти точки экстремума функции \( y = 0,2x^5 - 4x^2 - 3 \), нужно сначала найти производную этой функции и определить критические точки, где производная равна нулю или не существует.
- Найдем первую производную функции:
\[ y' = \frac{d}{dx}(0,2x^5 - 4x^2 - 3) = 1,0x^4 - 8x \]
Таким образом, первая производная равна:
\[ y' = 0,2 \cdot 5x^4 - 4 \cdot 2x = x^4 - 8x \]
- Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
\[ x^4 - 8x = 0 \]
- Факторизуем уравнение:
\[ x(x^3 - 8) = 0 \]
- Решим уравнение:
Первый корень будет:
\[ x = 0 \]
Для второго уравнения \( x^3 - 8 = 0 \):
\[ x^3 = 8 \implies x = 2 \]
Таким образом, критические точки — это \( x = 0 \) и \( x = 2 \).
- Теперь определим, являются ли эти точки максимумом, минимумом или седловыми точками. Для этого найдем вторую производную:
\[ y'' = \frac{d}{dx}(0,2x^4 - 8) = 0,8x^3 \]
- Подставим критические точки в вторую производную:
- Для \( x = 0 \):
\[ y''(0) = 0,8 \cdot 0^3 = 0 \]
Вторая производная равна нулю, и этот тест не дает информации о характере точки.
- Для \( x = 2 \):
\[ y''(2) = 0,8 \cdot 2^3 = 0,8 \cdot 8 = 6,4 \]
Поскольку вторая производная положительна, \( x = 2 \) — это точка минимума.
Таким образом, мы имеем:
- Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 2 \).
- \( x = 2 \) является точкой минимума.
Теперь можно подставить найденные значения \( x \) в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения \( y \):
- Для \( x = 0 \):
\[ y(0) = 0,2(0)^5 - 4(0)^2 - 3 = -3 \]
- Для \( x = 2 \):
\[ y(2) = 0,2(2)^5 - 4(2)^2 - 3 = 0,2 \cdot 32 - 4 \cdot 4 - 3 = 6,4 - 16 - 3 = -12,6 \]
Таким образом, точки экстремума:
- В точке \( (0, -3) \) — неопределённая (тест не дает результата).
- В точке \( (2, -12,6) \) — минимум.
