реши пример 3.6

Привет! Давай посмотрим на пример 3.6.

Здесь нужно решить логарифмические уравнения. Давай разберём оба:

1. log₂(√32x) = 1 + log₂(√x)

   Для решения этого уравнения:

   • Разложим логарифмы: log₂(√32x) = log₂(√32) + log₂(√x).
   • Подставим в уравнение: log₂(√32) + log₂(√x) = 1 + log₂(√x).
   • Поскольку log₂(√x) есть с обеих сторон, мы их убираем: log₂(√32) = 1.
   • Преобразуем: √32 = 4, потому что 32 = 2^5, а √32 = 2^(5/2) = 2² = 4.
   • Получаем: log₂(4) = 1, и это верно, потому что 2² = 4.

   Следовательно, x любое положительное число, так как корни сокращаются, и значение истина для любого положительного x.

2. log₇(x - 1) = 2 - log₇(x - 3)

   • Переносим log₇(x - 3) на другую сторону: log₇(x - 1) + log₇(x - 3) = 2.
   • Используем свойство логарифмов: log₇[(x - 1)(x - 3)] = 2.
   • Преобразуем: (x - 1)(x - 3) = 7² = 49.
   • Раскроем скобки: x² - 3x - x + 3 = 49.
   • Получаем квадратное уравнение: x² - 4x + 3 = 49.
   • Упростим: x² - 4x - 46 = 0.

   Теперь решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

   • D = b² - 4ac = (-4)² - 4 * 1 * (-46) = 16 + 184 = 200.
   • x₁,₂ = (4 ± √200) / 2.

   Приблизительно решив, получаем:

   • x₁ ≈ 11.1
   • x₂ ≈ -7.1

   Учитываем ограничения логарифма: x - 1 > 0 и x - 3 > 0. Это значит, что x > 3. Поэтому x ≈ 11.1, а второй корень нам не подходит по смыслу задачи.

Вот и всё! Если будут вопросы или что-то непонятно, дай знать.