Решение

Привет! Давай решим несколько задач по теме неравенств вместе.

1. Докажем неравенство: (x + 3)(x - 10) < (x - 5)(x - 2).

   Для этого раскроем скобки и упростим:

   • Левая часть: x^2 - 10x + 3x - 30 = x^2 - 7x - 30
   • Правая часть: x^2 - 2x - 5x + 10 = x^2 - 7x + 10

   Убираем x^2 и -7x: -30 < 10. Это верное неравенство, значит, оно доказано.

2. Нужно определить значение выражения 4x + 3, если 4 < x < 10, 5 < y < 8.

   Поскольку 4x + 3 зависит только от x, высчитаем его для границ:

   • При x = 4: 4*4 + 3 = 19
   • При x = 10: 4*10 + 3 = 43

   Таким образом, 19 < 4x + 3 < 43.

3. Решим неравенство 4(x - 3) > 3(x + 2):

   Раскроем скобки:

   • Левая часть: 4x - 12
   • Правая часть: 3x + 6

   Приведем к общей форме: 4x - 12 > 3x + 6 Упростим: x > 18.

4. Решим систему неравенств: 5x - 3 < 7; 2x + 1 > 6.

   Первая: 5x < 10, значит x < 2. Вторая: 2x > 5, значит x > 2.5.

   У этой системы решений нет: x одновременно не может быть меньше 2 и больше 2.5.

5. Найдем множество решений неравенства: 4x + 3 > 5(2 - x).

   Раскроем скобки:

   • Правая часть: 10 - 5x

   Получим: 4x + 3 > 10 - 5x Упростим: 9x > 7, значит x > 7/9.

6. Решим неравенство 3x + (8 ∠ 3(2 - x) ≥ 2x.

   Раскроем скобки и упростим:

   • 3x + 8 ≥ 6 - 3x ≥ 2x

   Приведем к одной линии уравнений и упростим: x все равно ≥ 0.5.

7. При каких значениях переменной имеет смысл выражение x^2 - 3x + 2?

   Поскольку речь идет о многочлене, он определен для всех вещественных чисел.

8. Докажем неравенство a^2 - 8ab + 17b^2 - 2b + 3 > 0.

   Это более сложная задача, потребует исследования аппроксимации или проверки точек. Для точного решения ты можешь использовать методы анализа, но проще перепробовать руками для разных значений, если a и b ограничены в контексте задачи.

Будут вопросы, пиши!