2. Фирма «Зорька» выпускает молоко в бутылках на двух заводах: А и Б. Завод А производит лишь 45% всех бутылок, остальное произ- водится на заводе Б. Известно, что 40% бутылок с завода А поступают в торговую сеть «Супер», а с завода Б в эту сеть поступают только 20% бутылок. Следователь Башковицкий, расследуя ужасное пре- ступление, обнаружил, что главная улика — бутылка молока фирмы «Зорька» - была куплена подозреваемым в магазине «Супер». Како- ва вероятность того, что эта бутылка изготовлена на заводе А?
Чтобы решить задачу, воспользуемся теорией условной вероятности и формулой Байеса. Нам нужно найти вероятность того, что бутылка молока изготовлена на заводе А, при условии, что она была куплена в магазине «Супер». Обозначим события следующим образом:
- \( A \): бутыль молока изготовлена на заводе А.
- \( B \): бутыль молока была куплена в магазине «Супер».
Из условий задачи известно:
- \( P(A) = 0.45 \) — вероятность того, что бутылка изготовлена на заводе А.
- \( P(B|A) = 0.40 \) — вероятность того, что бутылка попадает в «Супер», если она изготовлена на заводе А.
- Завод Б производит 55% бутылок, следовательно:
- \( P(B) = 0.55 \)
- \( P(B|B) = 0.20 \) — вероятность того, что бутылка попадает в «Супер», если она изготовлена на заводе Б.
Сначала вычислим полную вероятность \( P(B) \), используя формулу полной вероятности:
\[ P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|B) \cdot P(B) \]
Подставим известные значения:
\[ P(B) = (0.40 \cdot 0.45) + (0.20 \cdot 0.55) \]
Теперь вычислим каждое из слагаемых:
\[ P(B) = (0.40 \cdot 0.45) + (0.20 \cdot 0.55) = 0.18 + 0.11 = 0.29 \]
Теперь можем найти искомую вероятность \( P(A|B) \) с помощью формулы Байеса:
\[ P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} \]
Подставим значения:
\[ P(A|B) = \frac{0.40 \cdot 0.45}{0.29} \]
Вычислим числитель:
\[ 0.40 \cdot 0.45 = 0.18 \]
Теперь подставим в формулу:
\[ P(A|B) = \frac{0.18}{0.29} \]
Теперь посчитаем это значение:
\[ P(A|B) \approx 0.6207 \]
Таким образом, вероятность того, что бутылка молока изготовлена на заводе А, составляет примерно 62.07%.
