первую треть пути поезд шёл со скоростью V1, половину остального пути шел со скоростью V2, а остаток со скоростью V3. Определите среднюю скорость поезда.
Чтобы определить среднюю скорость поезда, сначала нам нужно обозначить общий путь, который проехал поезд. Пусть весь путь составляет \( S \).
Первая треть пути составит: \[ S_1 = \frac{S}{3} \] Поезд шел эту часть со скоростью \( V_1 \). Время, затраченное на этот участок, можно найти по формуле: \[ t_1 = \frac{S_1}{V_1} = \frac{\frac{S}{3}}{V_1} = \frac{S}{3V_1} \]
Половина оставшегося пути — это: \[ S_2 = \frac{1}{2} \left(S - S_1\right) = \frac{1}{2} \left(S - \frac{S}{3}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{2S}{3}\right) = \frac{S}{3} \] Поезд шел эту часть со скоростью \( V_2 \). Время, затраченное на этот участок: \[ t_2 = \frac{S_2}{V_2} = \frac{\frac{S}{3}}{V_2} = \frac{S}{3V_2} \]
Остаток пути — это также: \[ S_3 = S - S_1 - S_2 = S - \frac{S}{3} - \frac{S}{3} = S - \frac{2S}{3} = \frac{S}{3} \] Эта часть проезжалась со скоростью \( V_3 \). Время, затраченное на этот участок: \[ t_3 = \frac{S_3}{V_3} = \frac{\frac{S}{3}}{V_3} = \frac{S}{3V_3} \]
Теперь мы можем найти общее время в пути: \[ t_{\text{общ}} = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{S}{3V_1} + \frac{S}{3V_2} + \frac{S}{3V_3} \] \[ t_{\text{общ}} = \frac{S}{3} \left(\frac{1}{V_1} + \frac{1}{V_2} + \frac{1}{V_3}\right) \]
Средняя скорость \( V_{\text{ср}} \) вычисляется по формуле: \[ V_{\text{ср}} = \frac{\text{Общий путь}}{\text{Общее время}} = \frac{S}{t_{\text{общ}}} \] Подставим найденное значение для \( t_{\text{общ}} \): \[ V_{\text{ср}} = \frac{S}{\frac{S}{3} \left(\frac{1}{V_1} + \frac{1}{V_2} + \frac{1}{V_3}\right)} = \frac{3}{\frac{1}{V_1} + \frac{1}{V_2} + \frac{1}{V_3}} \]
Таким образом, средняя скорость поезда выражается формулой: \[ V_{\text{ср}} = \frac{3 V_1 V_2 V_3}{V_2 V_3 + V_1 V_3 + V_1 V_2} \]
Эта формула позволяет найти среднюю скорость поезда, учитывая различные скорости на разных участках пути.
