x\x-5>=0
Чтобы решить неравенство \( \frac{x}{x - 5} \geq 0 \), давайте разберем его шаг за шагом.
Найдем, когда дробь равна нулю: Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю. В данном случае это происходит, когда \( x = 0 \).
Определим, когда дробь бесконечна (или не определена): Дробь не определена, когда знаменатель равен нулю, т.е. \( x - 5 = 0 \) или \( x = 5 \).
Построим числовую прямую: У нас есть две ключевые точки: \( x = 0 \) и \( x = 5 \). Теперь разбиваем числовую прямую на три интервала:
- \( (-\infty, 0) \)
- \( (0, 5) \)
- \( (5, +\infty) \)
Проверим знак дроби в каждом интервале:
Для интервала \( (-\infty, 0) \): выберем точку, например, \( x = -1 \): \[ \frac{-1}{-1 - 5} = \frac{-1}{-6} = \frac{1}{6} > 0 \] Значит, дробь положительна.
Для интервала \( (0, 5) \): выберем точку, например, \( x = 1 \): \[ \frac{1}{1 - 5} = \frac{1}{-4} < 0 \] Дробь отрицательна.
Для интервала \( (5, +\infty) \): выберем точку, например, \( x = 6 \): \[ \frac{6}{6 - 5} = \frac{6}{1} > 0 \] Дробь положительна.
Собирать результаты: Мы нашли, что дробь положительна на интервалах \( (-\infty, 0) \) и \( (5, +\infty) \), и равна нулю в точке \( x = 0 \).
Записываем финальное решение: Так как нам нужно, чтобы дробь была больше или равна нулю, то решение будет: \[ x \in (-\infty, 0] \cup (5, +\infty) \]
Таким образом, ответ: \( x \in (-\infty, 0] \cup (5, +\infty) \).
