Сравните. 1) 100²⁰⁰ и 200¹⁰⁰ 2) 3¹⁵ и 7 ¹⁰

Давайте сравним данные выражения.

1. Сравнение \( 100^{200} \) и \( 200^{100} \).

Для удобства мы можем взять их логарифмы. Это позволит использовать свойства логарифмов для упрощения сравнения.

Сравниваем:

• \( \log(100^{200}) = 200 \cdot \log(100) = 200 \cdot 2 = 400 \) (так как \( \log(100) = 2 \))

• \( \log(200^{100}) = 100 \cdot \log(200) \)

Теперь найдем значение \( \log(200) \):

Примерная оценка \( \log(200) \):

• \( \log(200) = \log(2 \cdot 100) = \log(2) + \log(100) = \log(2) + 2 \)

Приблизительно \( \log(2) \approx 0.301 \), поэтому:

\[ \log(200) \approx 0.301 + 2 = 2.301 \]

Теперь можем вычислить:

\[ 100 \cdot \log(200) \approx 100 \cdot 2.301 = 230.1 \]

Теперь сравниваем:

• \( 400 \) (от \( 100^{200} \)) и \( 230.1 \) (от \( 200^{100} \))

Таким образом, \( 100^{200} > 200^{100} \).

2. Сравним \( 3^{15} \) и \( 7^{10} \).

Как и в первом случае, воспользуемся логарифмами:

- \( \log(3^{15}) = 15 \cdot \log(3) \)

- \( \log(7^{10}) = 10 \cdot \log(7) \)

Теперь приблизительно подставим значения:

• \( \log(3) \approx 0.477 \)
• \( \log(7) \approx 0.845 \)

Посчитаем:

- \( 15 \cdot \log(3) \approx 15 \cdot 0.477 \approx 7.155 \)

- \( 10 \cdot \log(7) \approx 10 \cdot 0.845 \approx 8.45 \)

Теперь сравниваем:

• \( 7.155 \) (от \( 3^{15} \)) и \( 8.45 \) (от \( 7^{10} \))

Таким образом, \( 3^{15} < 7^{10} \).

В итоге:

1. \( 100^{200} > 200^{100} \)

2. \( 3^{15} < 7^{10} \)