(х-2) *(2х-1) /2х²+7х+3>0
Чтобы решить неравенство \((x-2) * (2x-1) / (2x^2 + 7x + 3) > 0\), нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем этот процесс поэтапно.
Найдите нули числителя и знаменателя:
Числитель: \( (x-2)(2x-1) = 0 \)
Это уравнение имеет два решения: \[ x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \] \[ 2x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2} \]
Знаменатель: \( 2x^2 + 7x + 3 = 0 \)
Для нахождения корней этого квадратного уравнения воспользуемся дискриминантом: \[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4*2*3 = 49 - 24 = 25 \] Корни: \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 5}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \] \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \]
Соберите все корни: Мы нашли четыре значения: \( x = 2, \quad x = \frac{1}{2}, \quad x = -3, \quad x = -\frac{1}{2} \).
Постройте числовую ось и обсудите знаки: Разделите ось на промежутки, определяемые найденными корнями:
- \( (-\infty, -3) \)
- \( (-3, -\frac{1}{2}) \)
- \( (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \)
- \( (\frac{1}{2}, 2) \)
- \( (2, +\infty) \)
Определите знак выражения на каждом промежутке: Вы можете выбрать тестовые значения из каждого промежутка и подставить их в неравенство:
- Для \( x < -3 \) (например, \( x = -4 \)): знак положительный.
- Для \( -3 < x < -\frac{1}{2} \) (например, \( x = -1 \)): знак отрицательный.
- Для \( -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} \) (например, \( x = 0 \)): знак отрицательный.
- Для \( \frac{1}{2} < x < 2 \) (например, \( x = 1 \)): знак положительный.
- Для \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)): знак положительный.
Итог: Мы ищем те промежутки, где дробь положительна:
- \( (-\infty, -3) \) и \( (\frac{1}{2}, 2) \) и \( (2, +\infty) \).
Таким образом, решение неравенства \( \frac{(x - 2)(2x - 1)}{2x^2 + 7x + 3} > 0 \) будет: \[ (-\infty, -3) \cup \left( \frac{1}{2}, 2 \right) \cup (2, +\infty) \]
Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать!
