модуль вектора а равен 3, модуль вектора б равен 4, угол альфа равен 120. найти вектор аб

Чтобы найти вектор \(\vec{AB}\), воспользуемся формулой для нахождения длины вектора, который получается из суммирования двух векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):

\[ |\vec{AB}| = |\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha)} \]

Дано:

• Модуль вектора \(\vec{a}\) равен 3, то есть \(|\vec{a}| = 3\).
• Модуль вектора \(\vec{b}\) равен 4, то есть \(|\vec{b}| = 4\).
• Угол \(\alpha\) между векторами равен 120 градусов.

Сначала нужно найти \(\cos(120^{\circ}\)). Известно, что:

\[ \cos(120^{\circ}) = -\frac{1}{2} \]

Теперь подставим все известные значения в формулу:

\[ |\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} \]

Посчитаем поэтапно:

1. \(|\vec{a}|^2 = 3^2 = 9\)
2. \(|\vec{b}|^2 = 4^2 = 16\)
3. \(2 \cdot |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(120^{\circ}) = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -12\)

Теперь соберем всё вместе:

\[ |\vec{AB}| = \sqrt{9 + 16 - 12} = \sqrt{13} \]

Таким образом, длина вектора \(\vec{AB}\) равна \(\sqrt{13}\).