В классе из 10 человек провели контрольную работу по математике. Каждый мог получить оценку от 2 до 5. Какая может быть максимальная дисперсия у оценок за контрольную работу?…

Чтобы найти максимальную дисперсию оценок за контрольную работу, давайте сначала определим, какие оценки могло получить каждый ученик и какую формулу мы будем использовать.

Оценки варьируются от 2 до 5. Мы можем воспользоваться следующими значениями для максимально возможной дисперсии:

• Самые низкие оценки — 2
• Самые высокие оценки — 5

Дисперсия (D) вычисляется по формуле: \[ D = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{N} \]

где:

• \( x_i \) — каждая из оценок,
• \( \bar{x} \) — среднее значение оценок,
• \( N \) — количество оценок.

Чтобы достичь максимальной дисперсии, нам следует распределить оценки так, чтобы они были как можно дальше друг от друга. Максимальный вариант — это 5 человек получили 2, а 5 человек получили 5:

1. Записываем оценки: 2, 2, 2, 2, 2, 5, 5, 5, 5, 5.

2. Находим среднее значение (\( \bar{x} \)): \[ \bar{x} = \frac{2 \cdot 5 + 5 \cdot 5}{10} = \frac{10 + 25}{10} = 3.5 \]

3. Теперь вычислим сумму квадратов отклонений от среднего: \[ \sum (x_i - \bar{x})^2 = 5(2 - 3.5)^2 + 5(5 - 3.5)^2 \] \[ = 5(1.5)^2 + 5(1.5)^2 = 5 \cdot 2.25 + 5 \cdot 2.25 = 11.25 + 11.25 = 22.5 \]

4. Дисперсия: \[ D = \frac{22.5}{10} = 2.25 \]

Таким образом, максимальная дисперсия оценок за контрольную работу равна 2.25.