Решить матрицу x+2y+3z=1 2x-y+2z=6 x+y+5z=-1

Чтобы решить систему уравнений с тремя переменными, представленной в виде матрицы, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте запишем ваши уравнения в виде матричного уравнения и затем используем метод Гаусса для их решения.

Система уравнений выглядит следующим образом:

1. \( x + 2y + 3z = 1 \)
2. \( 2x - y + 2z = 6 \)
3. \( x + y + 5z = -1 \)

Теперь запишем соответствующую augmented (расширенную) матрицу:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 \\ 2 & -1 & 2 & | & 6 \\ 1 & 1 & 5 & | & -1 \end{pmatrix} \]

Теперь будем приводить эту матрицу к верхнему треугольному виду.

1. Первая строка остаётся без изменений: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 \\ 2 & -1 & 2 & | & 6 \\ 1 & 1 & 5 & | & -1 \end{pmatrix} \]

2. Вычтем 2 умноженную на первую строку из второй строки: \[ 2 - 2 \cdot 1 = 0, \] \[ -1 - 2 \cdot 2 = -5, \] \[ 2 - 2 \cdot 3 = -4, \] \[ 6 - 2 \cdot 1 = 4. \]

Теперь у нас: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 \\ 0 & -5 & -4 & | & 4 \\ 1 & 1 & 5 & | & -1 \end{pmatrix} \]

3. Теперь вычтем первую строку из третьей строки: \[ 1 - 1 = 0, \] \[ 1 - 2 = -1, \] \[ 5 - 3 = 2, \] \[ -1 - 1 = -2. \]

Теперь имеем: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 \\ 0 & -5 & -4 & | & 4 \\ 0 & -1 & 2 & | & -2 \end{pmatrix} \]

4. Далее, умножим вторую строку на \(-\frac{1}{5}\): \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & | & -\frac{4}{5} \\ 0 & -1 & 2 & | & -2 \end{pmatrix} \]

5. Прибавим вторую строку к третьей: \[ 0 + 0 = 0, \] \[ -1 + 1 = 0, \] \[ 2 + \frac{4}{5} = \frac{14}{5}, \] \[ -2 - \frac{4}{5} = -\frac{14}{5}. \]

Теперь имеем: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & | & -\frac{4}{5} \\ 0 & 0 & \frac{14}{5} & | & -\frac{14}{5} \end{pmatrix} \]

6. Теперь мы можем выразить \(z\) из третьей строки: \[ \frac{14}{5}z = -\frac{14}{5} \Rightarrow z = -1. \]

7. Подставим \(z\) в вторую строку: \[ y + \frac{4}{5}(-1) = -\frac{4}{5} \Rightarrow y - \frac{4}{5} = -\frac{4}{5} \Rightarrow y = 0. \]

8. Теперь подставим \(y\) и \(z\) в первую строку: \[ x + 2(0) + 3(-1) = 1 \Rightarrow x - 3 = 1 \Rightarrow x = 4. \]

Таким образом, у нас есть решение для системы: \[ x = 4, \quad y = 0, \quad z = -1. \]

Ответ: \( (x, y, z) = (4, 0, -1) \).