(5x+7)(x-4)(x+10)<0

Чтобы решить неравенство \((5x+7)(x-4)(x+10)<0\), будем следовать следующим шагам.

1. Найдем нули функций: Чтобы определить, где произведение выражения меняет знак, нам нужно найти корни каждого множителя.

   • \(5x + 7 = 0\)
     \(5x = -7\)
     \(x = -\frac{7}{5}\) (или -1.4)

   • \(x - 4 = 0\)
     \(x = 4\)

   • \(x + 10 = 0\)
     \(x = -10\)

Теперь у нас есть три нуля: \(x = -10\), \(x = -\frac{7}{5}\), \(x = 4\). Эти точки будут разбивать числовую прямую на интервалы.

2. Определим интервалы: Мы имеем четыре интервала:

   • \( (-\infty, -10) \)
   • \( (-10, -\frac{7}{5}) \)
   • \( (-\frac{7}{5}, 4) \)
   • \( (4, +\infty) \)

3. Выберем тестовые значения для каждого интервала:

   • Для \( (-\infty, -10) \), например, \(x = -11\):
     \((5(-11)+7)(-11-4)(-11+10) = (-55+7)(-15)(-1) = (-48)(-15)(-1) < 0\)

   • Для \( (-10, -\frac{7}{5}) \), например, \(x = -2\):
     \((5(-2)+7)(-2-4)(-2+10) = (-10+7)(-6)(8) = (-3)(-6)(8) > 0\)

   • Для \( (-\frac{7}{5}, 4) \), например, \(x = 0\):
     \((5(0)+7)(0-4)(0+10) = 7(-4)(10) < 0\)

   • Для \( (4, +\infty) \), например, \(x = 5\):
     \((5(5)+7)(5-4)(5+10) = (25+7)(1)(15) > 0\)

4. Подведем итоги по интервалам:

   • \( (-\infty, -10) \): < 0
   • \( (-10, -\frac{7}{5}) \): > 0
   • \( (-\frac{7}{5}, 4) \): < 0
   • \( (4, +\infty) \): > 0

5. Решение неравенства: Мы ищем интервалы, где произведение меньше нуля. Это происходит на интервалах:

   • \( (-\infty, -10) \)
   • \( (-\frac{7}{5}, 4) \)

Таким образом, решение неравенства \((5x+7)(x-4)(x+10)<0\) можно записать как: \[ x \in (-\infty, -10) \cup (-\frac{7}{5}, 4) \]