X+4/x-7>=0

Чтобы решить неравенство \( \frac{x+4}{x-7} \geq 0 \), следуем следующему алгоритму:

1. Найдите нули числителя: Для этого решим уравнение \( x + 4 = 0 \). \[ x = -4 \] Это значение делает числитель равным нулю.

2. Определите, где дробь не определена: Для этого решим уравнение \( x - 7 = 0 \). \[ x = 7 \] Это значение делает знаменатель равным нулю, и дробь не определена при \( x = 7 \).

3. Разделим числовую прямую на интервалы: У нас есть два критических значения: \( -4 \) и \( 7 \). Делим числовую прямую на три промежутка:

   • \( (-\infty, -4) \)
   • \( (-4, 7) \)
   • \( (7, +\infty) \)

4. Проверим знак дроби на каждом интервале:

   • Для интервала \( (-\infty, -4) \) (например, возьмем \( x = -5 \)): \[ \frac{-5 + 4}{-5 - 7} = \frac{-1}{-12} > 0 \]
   • Для интервала \( (-4, 7) \) (например, возьмем \( x = 0 \)): \[ \frac{0 + 4}{0 - 7} = \frac{4}{-7} < 0 \]
   • Для интервала \( (7, +\infty) \) (например, возьмем \( x = 8 \)): \[ \frac{8 + 4}{8 - 7} = \frac{12}{1} > 0 \]

5. Подведем итоги:

   • Дробь положительна на интервалах \( (-\infty, -4) \) и \( (7, +\infty) \).
   • В точке \( x = -4 \) дробь равна нулю (входит в решение).
   • В точке \( x = 7 \) дробь не определена (не входит в решение).

Таким образом, решение неравенства \( \frac{x+4}{x-7} \geq 0 \) будет: \[ (-\infty, -4] \cup (7, +\infty) \]