Найдите объём и площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды со стороной основания 10 м, если двугранный угол при ребре основания равен 45°

Question 1

Задача Задача №1743794

А

Аноним

06 октября 2024 16:20 · публичный вопрос

А

Аноним 06 октября 2024 16:20

Найдите объём и площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды со стороной основания 10 м, если двугранный угол при ребре основания равен 45°

Answer

Для нахождения объёма и площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды с основанием в виде равностороннего треугольника и двугранным углом при ребре основания, равным 45°, нужно выполнить несколько шагов.

Параметры основания: Основание пирамиды — равносторонний треугольник со стороной \( a = 10 \) м.

Высоту \( h_{осн} \) равностороннего треугольника можно найти по формуле: \[ h_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 10 \approx 8.66 \text{ м} \]

Площадь основания \( S_{осн} \) равен: \[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 10^2 = 25\sqrt{3} \approx 43.30 \text{ м}^2 \]
Находим высоту пирамиды: Обозначим высоту пирамиды как \( H \). При угле \( 45^\circ \) двугранного угла между основанием и боковой гранью, можем использовать тригонометрию.

Из условия знаем, что: \[ \tan(45^\circ) = 1 = \frac{H}{\frac{a}{2}} \] Отсюда: \[ H = \frac{a}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ м} \]
Объем пирамиды: Объем \( V \) правильной треугольной пирамиды вычисляется по формуле: \[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 25\sqrt{3} \cdot 5 = \frac{125\sqrt{3}}{3} \approx 72.17 \text{ м}^3 \]
Площадь боковой поверхности: Площадь боковой поверхности \( S_{бок} \) равна сумме площадей боковых граней. Каждая боковая грань — это равнобедренный треугольник.

Площадь одной боковой грани \( S_{грани} \) вычисляется следующим образом. Высота боковой грани может быть найдена через теорему Пифагора, глядя на треугольник с высотой и половиной стороны основания: \[ h_{грани} = \sqrt{H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

Площадь боковой грани равна: \[ S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{грани} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5\sqrt{2} = 25\sqrt{2} \]

Поскольку у нас три таких грани: \[ S_{бок} = 3 \cdot S_{грани} = 3 \cdot 25\sqrt{2} = 75\sqrt{2} \approx 106.07 \text{ м}^2 \]

Теперь у нас есть все необходимые результаты:

Объём пирамиды: \( V \approx 72.17 \text{ м}^3 \).
Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} \approx 106.07 \text{ м}^2 \).

Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!

Question 2

Найдите объём и площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды со стороной основания 10 м, если двугранный угол при ребре основания равен 45°

Answer

Для нахождения объёма и площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды с основанием в виде равностороннего треугольника и двугранным углом при ребре основания, равным 45°, нужно выполнить несколько шагов. 1. **Параметры основания**: Основание пирамиды — равносторонний треугольник со стороной \( a = 10 \) м. Высоту \( h_{осн} \) равностороннего треугольника можно найти по формуле: \[ h_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 10 \approx 8.66 \text{ м} \] Площадь основания \( S_{осн} \) равен: \[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 10^2 = 25\sqrt{3} \approx 43.30 \text{ м}^2 \] 2. **Находим высоту пирамиды**: Обозначим высоту пирамиды как \( H \). При угле \( 45^\circ \) двугранного угла между основанием и боковой гранью, можем использовать тригонометрию. Из условия знаем, что: \[ \tan(45^\circ) = 1 = \frac{H}{\frac{a}{2}} \] Отсюда: \[ H = \frac{a}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ м} \] 3. **Объем пирамиды**: Объем \( V \) правильной треугольной пирамиды вычисляется по формуле: \[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 25\sqrt{3} \cdot 5 = \frac{125\sqrt{3}}{3} \approx 72.17 \text{ м}^3 \] 4. **Площадь боковой поверхности**: Площадь боковой поверхности \( S_{бок} \) равна сумме площадей боковых граней. Каждая боковая грань — это равнобедренный треугольник. Площадь одной боковой грани \( S_{грани} \) вычисляется следующим образом. Высота боковой грани может быть найдена через теорему Пифагора, глядя на треугольник с высотой и половиной стороны основания: \[ h_{грани} = \sqrt{H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \] Площадь боковой грани равна: \[ S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{грани} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5\sqrt{2} = 25\sqrt{2} \] Поскольку у нас три таких грани: \[ S_{бок} = 3 \cdot S_{грани} = 3 \cdot 25\sqrt{2} = 75\sqrt{2} \approx 106.07 \text{ м}^2 \] Теперь у нас есть все необходимые результаты: - Объём пирамиды: \( V \approx 72.17 \text{ м}^3 \). - Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} \approx 106.07 \text{ м}^2 \). Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!