Лыжник в начале спуска с горы имел скорость 2 м/с. Спустившись по образующей угол 30° с горизонтом, лыжник увеличил свою скорость до 12 м/с. Какое расстояние проехал лыжник под уклон? Трение не учитывайте.
Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии. Когда лыжник спускается с горы, его потенциальная энергия преобразуется в кинетическую.
Исходные данные:
- Начальная скорость (v₁) = 2 м/с
- Конечная скорость (v₂) = 12 м/с
- Угол спуска (α) = 30°
Формула для расчета кинетической энергии: Кинетическая энергия (KE) определяется как:
\( KE = \frac{1}{2} m v^2 \)Запишем уравнение сохранения энергии: Потенциальная энергия в начале спуска (mgh) превращается в кинетическую:
\( mgh = KE_{\text{конечная}} - KE_{\text{начальная}} \)
\( mgh = \frac{1}{2} m v_2^2 - \frac{1}{2} m v_1^2 \)Упрощаем уравнение: Масса (m) сокращается: \( gh = \frac{1}{2} (v_2^2 - v_1^2) \)
Подставим значения: \( g \) (ускорение свободного падения) ≈ 9.81 м/с²,
\( v_1 = 2 \) м/с и \( v_2 = 12 \) м/с: \[ h = \frac{(12^2 - 2^2)}{2g} \] \[ h = \frac{(144 - 4)}{2 \cdot 9.81} \] \[ h = \frac{140}{19.62} \] \[ h ≈ 7.13 \text{ м} \]Теперь найдем расстояние, проходимое лыжником (s): Расстояние \( s \) связано с высотой \( h \) и углом \( α \) через тригонометрию: \[ h = s \cdot \sin(30°) \]
поскольку \( \sin(30°) = 0.5 \): \[ s = \frac{h}{\sin(30°)} = \frac{h}{0.5} = 2h \] \[ s = 2 \cdot 7.13 \text{ м} \] \[ s ≈ 14.26 \text{ м} \]
Таким образом, лыжник проехал расстояние примерно 14.26 метра под уклон.
