Найдите объём и площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды с основание 10 м, если двугранный угол при ребре основания равен 45°

Question 1

Задача Задача №1744099

А

Аноним

06 октября 2024 16:42 · публичный вопрос

А

Аноним 06 октября 2024 16:42

Найдите объём и площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды с основание 10 м, если двугранный угол при ребре основания равен 45°

Answer

Для нахождения объёма и площади боковой поверхности правильной трёхугольной пирамиды, сначала определим некоторые характеристики, основываясь на заданных данных.

Находим высоту основания (правильного треугольника): Для правильного треугольника с основанием \( a = 10 \) м, его высоту можно найти по формуле: \[ h_{основания} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a \] Подставим значение: \[ h_{основания} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 10 = 5\sqrt{3} \approx 8.66 \text{ м} \]
Определяем высоту пирамиды (h): Из условия известно, что двугранный угол при ребре основания равен 45°. Это значит, что высота пирамиды равна высоте, проведенной из вершины пирамиды на середину основания треугольника. Подставив в уравнение, используя свойства треугольников, высота h может быть найдена с помощью: \[ h = \frac{a}{2\tan(45^\circ)} = \frac{10}{2 \cdot 1} = 5 \text{ м} \]
Объём пирамиды (V): Объём правильной треугольной пирамиды вычисляется по формуле: \[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{основания} \cdot h \] Сначала найдем площадь основания: \[ S_{основания} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 10^2 = 25\sqrt{3} \approx 43.3 \text{ м}^2 \] Теперь подставим в формулу объёма: \[ V = \frac{1}{3} \cdot 25\sqrt{3} \cdot 5 = \frac{125\sqrt{3}}{3} \approx 72.17 \text{ м}^3 \]
Площадь боковой поверхности (Sб): Площадь боковой поверхности состоит из трёх треугольных граней. Площадь одной такой грани вычисляется по формуле: \[ S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \text{высота грани} \] Высота грани можно найти из условного треугольника, где одна сторона — это высота пирамиды, а другая — половина стороны основания. Высота грани (h_грани) равна: \[ h_{грани} = \sqrt{h^2 + (a/2)^2} = \sqrt{5^2 + (10/2)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \] Теперь площадь одной грани: \[ S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5\sqrt{2} = 25\sqrt{2} \] Площадь боковой поверхности: \[ S_{б} = 3 \cdot 25\sqrt{2} = 75\sqrt{2} \approx 106.07 \text{ м}^2 \]

Таким образом, объём пирамиды составляет примерно \( 72.17 \text{ м}^3 \), а площадь боковой поверхности — около \( 106.07 \text{ м}^2 \).

Question 2

Найдите объём и площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды с основание 10 м, если двугранный угол при ребре основания равен 45°

Answer

Для нахождения объёма и площади боковой поверхности правильной трёхугольной пирамиды, сначала определим некоторые характеристики, основываясь на заданных данных. 1. **Находим высоту основания (правильного треугольника)**: Для правильного треугольника с основанием \( a = 10 \) м, его высоту можно найти по формуле: \[ h_{основания} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a \] Подставим значение: \[ h_{основания} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 10 = 5\sqrt{3} \approx 8.66 \text{ м} \] 2. **Определяем высоту пирамиды (h)**: Из условия известно, что двугранный угол при ребре основания равен 45°. Это значит, что высота пирамиды равна высоте, проведенной из вершины пирамиды на середину основания треугольника. Подставив в уравнение, используя свойства треугольников, высота h может быть найдена с помощью: \[ h = \frac{a}{2\tan(45^\circ)} = \frac{10}{2 \cdot 1} = 5 \text{ м} \] 3. **Объём пирамиды (V)**: Объём правильной треугольной пирамиды вычисляется по формуле: \[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{основания} \cdot h \] Сначала найдем площадь основания: \[ S_{основания} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 10^2 = 25\sqrt{3} \approx 43.3 \text{ м}^2 \] Теперь подставим в формулу объёма: \[ V = \frac{1}{3} \cdot 25\sqrt{3} \cdot 5 = \frac{125\sqrt{3}}{3} \approx 72.17 \text{ м}^3 \] 4. **Площадь боковой поверхности (Sб)**: Площадь боковой поверхности состоит из трёх треугольных граней. Площадь одной такой грани вычисляется по формуле: \[ S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \text{высота грани} \] Высота грани можно найти из условного треугольника, где одна сторона — это высота пирамиды, а другая — половина стороны основания. Высота грани (h_грани) равна: \[ h_{грани} = \sqrt{h^2 + (a/2)^2} = \sqrt{5^2 + (10/2)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \] Теперь площадь одной грани: \[ S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5\sqrt{2} = 25\sqrt{2} \] Площадь боковой поверхности: \[ S_{б} = 3 \cdot 25\sqrt{2} = 75\sqrt{2} \approx 106.07 \text{ м}^2 \] Таким образом, объём пирамиды составляет примерно \( 72.17 \text{ м}^3 \), а площадь боковой поверхности — около \( 106.07 \text{ м}^2 \).