При свободном падении с высоты h камень за последнюю секунду падения прошёл путь 0,75h. Найдите высоту h и время падения камня. Примите ускорения свободного падения равным 10м/с в квадрате, влияние воздуха на движение камня считайте пренебрежимо малым. Решить задачу в виде Дано решение С формулами
Дано:
- Ускорение свободного падения \( g = 10 \, \text{м/с}^2 \)
- Путь, пройденный камнем за последнюю секунду: \( S_{посл} = 0.75h \)
- Давайте обозначим время падения как \( t \).
Решение:
Для начала, можем использовать формулу для расстояния, пройденного телом, падающим свободно:
\[ h = \frac{gt^2}{2} \]
- Находим высоту h через время падения t:
\[ h = \frac{10t^2}{2} = 5t^2 \]
- Теперь найдем путь, пройденный камнем за последнюю секунду падения. Путь, пройденный за последнюю секунду, можно найти как разницу положения тела на \( t \) и на \( t-1 \):
\[ S_{посл} = h(t) - h(t-1) = \frac{gt^2}{2} - \frac{g(t-1)^2}{2} \]
Таким образом, подставляем значение \( g \):
\[ S_{посл} = \frac{10t^2}{2} - \frac{10(t-1)^2}{2} \]
Упрощаем это выражение:
\[ S_{посл} = 5t^2 - 5(t^2 - 2t + 1) = 5t^2 - 5t^2 + 10t - 5 = 10t - 5 \]
- Теперь можем подставить выражение для пути за последнюю секунду:
\[ 0.75h = 10t - 5 \]
- Подставляем \( h = 5t^2 \):
\[ 0.75 \cdot 5t^2 = 10t - 5 \]
- Упрощаем:
\[ 3.75t^2 = 10t - 5 \]
- Переносим все в одну сторону:
\[ 3.75t^2 - 10t + 5 = 0 \]
- Умножим уравнение на 4 для удобства:
\[ 15t^2 - 40t + 20 = 0 \]
- Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
Дискриминант \( D \):
\[ D = (-40)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 20 = 1600 - 1200 = 400 \]
- Находим корни:
\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{40 \pm 20}{30} \]
Корни:
\[ t_1 = \frac{60}{30} = 2 \quad \text{и} \quad t_2 = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \]
Поскольку время падения должно быть положительным, принимаем:
\[ t = 2 \, \text{с} \]
- Теперь подставим \( t \) в формулу для нахождения высоты \( h \):
\[ h = 5t^2 = 5 \cdot (2)^2 = 5 \cdot 4 = 20 \, \text{м} \]
Ответ:
- Высота \( h = 20 \, \text{м} \)
- Время падения \( t = 2 \, \text{с} \)
