Массивная плита удаляется от неподвного мяча с постоянной скоростью, направленной по вертикали вниз. В тот момент, когда мяч находился выше плиты на расстоянии h=0,4м от горизонтальной верхней поверхности плиты, его отпускают После абсолютно упругого удара о плиту мяч удаляется от нее на максимальное расстояние H=1,2м. Найдите скорость U плиты. Масса мяча во много раз меньше массы плиты.
Для решения этой задачи давайте использовать законы сохранения импульса и закон сохранения энергии.
Состояние до удара: Мяч свободно падает с высоты \( h = 0.4 \, \text{м} \). На момент удара о плиту его скорость \( v_0 \) можно найти по уравнению свободного падения: \[ v_0 = \sqrt{2gh} \] где \( g \) — ускорение свободного падения (приблизительно \( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 \)). Подставляем \( h \): \[ v_0 = \sqrt{2 \cdot 9.81 \cdot 0.4} \approx \sqrt{7.848} \approx 2.8 \, \text{м/с} \]
Удар о плиту: При абсолютно упругом ударе сохраняется сумма импульсов. Поскольку масса мяча во много раз меньше массы плиты, можно считать, что скорость плиты \( U \) практически не изменится, и мяч отскакивает с какой-то скоростью \( v \).
По закону сохранения импульса: \[ m \cdot v_0 = m \cdot (-v) + M \cdot U \] где \( m \) — масса мяча, \( M \) — масса плиты.
Нам потребуется выразить \( v \). При абсолютно упругом столкновении: \[ v = v_0 + U \]
Состояние после удара: После удара мяч поднимается на максимальную высоту \( H = 1.2 \, \text{м} \). Энергия при достижении этой высоты равна: \[ \frac{mv^2}{2} = mgH \] Подставим \( v \) из уравнения упругости: \[ \frac{m(v_0 + U)^2}{2} = mgH \] Упростим уравнение: \[ (v_0 + U)^2 = 2gH \] Подставим \( H = 1.2 \, \text{м} \): \[ (2.8 + U)^2 = 2 \cdot 9.81 \cdot 1.2 \] Считаем правую часть: \[ (2.8 + U)^2 = 23.544 \implies 2.8 + U \approx \sqrt{23.544} \approx 4.85 \] Находим \( U \): \[ U \approx 4.85 - 2.8 \approx 2.05 \, \text{м/с} \]
Таким образом, скорость плиты \( U \) составляет approximately \( 2.05 \, \text{м/с} \).
