(1 балл) радиус вписанной в ромб окружности равен 2, острый угол ромба равен 30°. найдите площадь ромба. ответ не 64
Чтобы найти площадь ромба, зная радиус вписанной окружности (r = 2) и острый угол (α = 30°), можно воспользоваться следующими формулами.
Площадь ромба \( S \) можно выразить через радиус вписанной окружности и периметр:
\[ S = r \cdot P \]
где \( P \) — периметр ромба. Периметр ромба можно найти как:
\[ P = 4a \]
где \( a \) — сторона ромба. Теперь давайте используем формулу для радиуса вписанной окружности ромба:
\[ r = \frac{S}{P} \]
Так как \( S = r \cdot P \), мы можем выразить площадь через сторону и угол:
Площадь ромба также можно найти как:
\[ S = a^2 \cdot \sin(α) \]
Итак, мы знаем, что:
- Радиус окружности \( r \) равен 2.
- Острый угол \( α \) равен 30°.
Сначала находим сторону \( a \):
Из формулы для радиуса окружности:
\[ r = \frac{S}{P} = \frac{S}{4a} \]
Тогда площадь будет равна:
\[ S = 4ar \]
Теперь подставим \( S = a^2 \cdot \sin(30°)\), где \( \sin(30°) = \frac{1}{2} \):
\[ S = a^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2} \]
Также у нас есть:
\[ S = 4ar \]
Объединим обе формулы:
\[ \frac{a^2}{2} = 4a \cdot 2 \]
Упрощаем:
\[ \frac{a^2}{2} = 8a \]
Умножим на 2:
\[ a^2 = 16a \]
Теперь перенесем все в одну сторону:
\[ a^2 - 16a = 0 \]
Выносим \( a \) за скобки:
\[ a(a - 16) = 0 \]
Это дает два решения: \( a = 0 \) или \( a = 16 \). Поскольку сторона не может быть равной нулю, выбираем:
\[ a = 16 \]
Теперь подставим значение стороны в формулу для площади:
\[ S = a^2 \cdot \sin(30°) = 16^2 \cdot \frac{1}{2} = 256 \cdot \frac{1}{2} = 128 \]
Таким образом, площадь ромба равна \( 128 \) квадратных единиц.
