Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки А(1;-2;0), В(2;0;-1), С(0;-1;2) не лежащие на одной прямой. Найдите координаты вектора нормали.
Чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки \( A(1, -2, 0) \), \( B(2, 0, -1) \) и \( C(0, -1, 2) \), нам сначала нужно найти координаты вектора нормали к плоскости.
Для этого мы можем воспользоваться следующим методом:
Найдем векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \), которые образованы этими точками: \[ \vec{AB} = B - A = (2 - 1, 0 - (-2), -1 - 0) = (1, 2, -1) \] \[ \vec{AC} = C - A = (0 - 1, -1 - (-2), 2 - 0) = (-1, 1, 2) \]
Теперь, чтобы найти вектор нормали \( \vec{n} \) к плоскости, воспользуемся векторным произведением \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \): \[ \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} \] Вычислим это произведение: \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} \]
Раскроем определитель: \[ \vec{n} = \hat{i} \left(2 \cdot 2 - (-1) \cdot 1\right) - \hat{j} \left(1 \cdot 2 - (-1) \cdot -1\right) + \hat{k} \left(1 \cdot 1 - 2 \cdot -1\right) \] \[ = \hat{i} (4 + 1) - \hat{j} (2 - 1) + \hat{k} (1 + 2) \] \[ = 5\hat{i} - 1\hat{j} + 3\hat{k} \]
Таким образом, координаты вектора нормали \( \vec{n} = (5, -1, 3) \).
Теперь мы можем записать уравнение плоскости, используя одну из точек, например точку \( A(1, -2, 0) \) и координаты вектора нормали: Уравнение плоскости в общем виде: \[ 5(x - 1) - 1(y - (-2)) + 3(z - 0) = 0. \] Раскроем скобки: \[ 5x - 5 - y - 2 + 3z = 0, \] что можно упростить до: \[ 5x - y + 3z - 7 = 0. \]
Итак, уравнение плоскости, проходящей через точки \( A \), \( B \) и \( C \), выглядит как \( 5x - y + 3z - 7 = 0 \), а координаты вектора нормали составляют \( (5, -1, 3) \).
