Две бригады за определенный срок должны были изготовить по 180 деталей. Вторая бригада, изготавливая на 2 детали в час больше, чем первая, выполнила задание на 3 часа раньше срока. За сколько часов каждая бригада выполнила задание?

Question 1

Задача Задача №1745543

А

Аноним

06 октября 2024 19:06 · публичный вопрос

А

Аноним 06 октября 2024 19:06

Две бригады за определенный срок должны были изготовить по 180 деталей. Вторая бригада, изготавливая на 2 детали в час больше, чем первая, выполнила задание на 3 часа раньше срока. За сколько часов каждая бригада выполнила задание?

Answer

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Обозначим:

x — количество деталей, которые первая бригада изготавливает за час.
y — количество часов, за которые первая бригада завершает задание.

Тогда вторая бригада изготавливает на 2 детали больше, то есть её производительность будет x + 2. Время, за которое вторая бригада завершает задание, будет на 3 часа меньше, чем первая, то есть y - 3.

Теперь запишем уравнения для обеих бригад:

Первая бригада: \( x \cdot y = 180 \) (поскольку она изготавливает 180 деталей).
Вторая бригада: \( (x + 2)(y - 3) = 180 \).

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\( xy = 180 \)
\( (x + 2)(y - 3) = 180 \)

Решим второе уравнение:

Раскроем скобки: \[ (x + 2)(y - 3) = xy - 3x + 2y - 6 = 180 \]
Подставим \( xy = 180 \) из первого уравнения: \[ 180 - 3x + 2y - 6 = 180 \] Упрощаем: \[ -3x + 2y - 6 = 0 \] \[ 2y = 3x + 6 \] \[ y = \frac{3x + 6}{2} \]

Теперь подставим выражение для \( y \) во второе уравнение \( xy = 180 \): \[ x \left( \frac{3x + 6}{2} \right) = 180 \] Умножив обе стороны на 2, получаем: \[ x(3x + 6) = 360 \implies 3x^2 + 6x - 360 = 0 \] Сократим уравнение, разделив на 3: \[ x^2 + 2x - 120 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120)}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 480}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{484}}{2} = \frac{-2 \pm 22}{2} \]

Находим два возможных значения для \( x \):

\( x = \frac{20}{2} = 10 \)
\( x = \frac{-24}{2} = -12 \) (отрицательное значение не имеет смысла)

Следовательно, \( x = 10 \).

Теперь подставляем \( x \) в первое уравнение, чтобы найти \( y \): \[ y = \frac{180}{10} = 18 \]

Таким образом, первая бригада производит 10 деталей в час и завершает задание за 18 часов.

Теперь находим \( y \) для второй бригады: Так как вторая бригада работает на 2 детали больше, её скорость будет \( 10 + 2 = 12 \) деталей в час, и время работы будет: \[ y - 3 = 18 - 3 = 15 \text{ часов}. \]

Ответ: первая бригада выполнила задание за 18 часов, а вторая бригада — за 15 часов.

Question 2

Две бригады за определенный срок должны были изготовить по 180 деталей. Вторая бригада, изготавливая на 2 детали в час больше, чем первая, выполнила задание на 3 часа раньше срока. За сколько часов каждая бригада выполнила задание?

Answer

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. Обозначим: - **x** — количество деталей, которые первая бригада изготавливает за час. - **y** — количество часов, за которые первая бригада завершает задание. Тогда вторая бригада изготавливает на 2 детали больше, то есть её производительность будет **x + 2**. Время, за которое вторая бригада завершает задание, будет на 3 часа меньше, чем первая, то есть **y - 3**. Теперь запишем уравнения для обеих бригад: 1. Первая бригада: \( x \cdot y = 180 \) (поскольку она изготавливает 180 деталей). 2. Вторая бригада: \( (x + 2)(y - 3) = 180 \). Теперь у нас есть система из двух уравнений: 1. \( xy = 180 \) 2. \( (x + 2)(y - 3) = 180 \) Решим второе уравнение: 1. Раскроем скобки: \[ (x + 2)(y - 3) = xy - 3x + 2y - 6 = 180 \] 2. Подставим \( xy = 180 \) из первого уравнения: \[ 180 - 3x + 2y - 6 = 180 \] Упрощаем: \[ -3x + 2y - 6 = 0 \] \[ 2y = 3x + 6 \] \[ y = \frac{3x + 6}{2} \] Теперь подставим выражение для \( y \) во второе уравнение \( xy = 180 \): \[ x \left( \frac{3x + 6}{2} \right) = 180 \] Умножив обе стороны на 2, получаем: \[ x(3x + 6) = 360 \implies 3x^2 + 6x - 360 = 0 \] Сократим уравнение, разделив на 3: \[ x^2 + 2x - 120 = 0 \] Теперь решим это квадратное уравнение по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120)}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 480}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{484}}{2} = \frac{-2 \pm 22}{2} \] Находим два возможных значения для \( x \): 1. \( x = \frac{20}{2} = 10 \) 2. \( x = \frac{-24}{2} = -12 \) (отрицательное значение не имеет смысла) Следовательно, \( x = 10 \). Теперь подставляем \( x \) в первое уравнение, чтобы найти \( y \): \[ y = \frac{180}{10} = 18 \] Таким образом, первая бригада производит 10 деталей в час и завершает задание за 18 часов. Теперь находим \( y \) для второй бригады: Так как вторая бригада работает на 2 детали больше, её скорость будет \( 10 + 2 = 12 \) деталей в час, и время работы будет: \[ y - 3 = 18 - 3 = 15 \text{ часов}. \] Ответ: первая бригада выполнила задание за 18 часов, а вторая бригада — за 15 часов.