( х+2)×(2-х)<(х+4)×(3-4)3(3+4)+2(1-2х ≥12(х+2)²>0
Разберем неравенство по частям. У нас есть два неравенства, которые нужно решить:
\((x + 2) \cdot (2 - x) < (x + 4) \cdot (3 - 4) + 2 (1 - 2x)\)
\(12(x + 2)^2 > 0\)
Начнем с первого неравенства:
Шаг 1: Упростим левую сторону
\((x + 2) \cdot (2 - x)\) можно раскрыть: \[ = 2x + 4 - x^2 - 2x = 4 - x^2 \]
Шаг 2: Упростим правую сторону
Правая сторона \((x + 4) \cdot (3 - 4) + 2(1 - 2x)\): \((x + 4) \cdot (-1) + 2(1 - 2x)\): \[ = -x - 4 + 2 - 4x = -5x - 2 \]
Шаг 3: Подставим упрощенные части в неравенство
Теперь у нас есть: \[ 4 - x^2 < -5x - 2 \]
Шаг 4: Переведем все в одну сторону
\[ 4 - x^2 + 5x + 2 < 0 \] \[ -x^2 + 5x + 6 < 0 \] Умножим на -1 (неравенство поменяет знак): \[ x^2 - 5x - 6 > 0 \]
Шаг 5: Решим квадратное неравенство
Находим корни уравнения \(x^2 - 5x - 6 = 0\) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 \]
Корни уравнения: \[ x_1 = \frac{5 + 7}{2} = 6, \quad x_2 = \frac{5 - 7}{2} = -1 \]
Шаг 6: Определяем знак
Теперь мы имеем корни \(x = -1\) и \(x = 6\). Неравенство \(x^2 - 5x - 6 > 0\) верно для промежутков: \[ (-\infty, -1) \cup (6, +\infty) \]
Шаг 7: Решим второе неравенство
\(12(x + 2)^2 > 0\). Это неравенство будет истинно, если \(x + 2 \neq 0\), то есть \(x \neq -2\). Однако, \( (x + 2)^2 \)- всегда неотрицательно.
Таким образом, неравенство \(12(x + 2)^2 > 0\) верно для всех \(x\), кроме \(x = -2\).
Итог
Объединив оба результата, получаем окончательное решение:
\((-\infty, -1) \cup (6, +\infty)\), исключая \(x = -2\).
Если у вас остались вопросы или потребуется уточнение, пожалуйста, обращайтесь!
