найдите наименьшее значение выражения x+((x+4) (x+5)) /x при x >0
Чтобы найти наименьшее значение выражения \( y = x + \frac{(x+4)(x+5)}{x} \) при \( x > 0 \), начнем с упрощения этого выражения.
- Раскроем скобки в числителе:
\[ (x+4)(x+5) = x^2 + 9x + 20 \]
- Подставим это в исходное выражение:
\[ y = x + \frac{x^2 + 9x + 20}{x} \]
- Упростим дробь:
\[ y = x + \left( \frac{x^2}{x} + \frac{9x}{x} + \frac{20}{x} \right) = x + x + 9 + \frac{20}{x} \]
Таким образом, мы получаем:
\[ y = 2x + 9 + \frac{20}{x} \]
- Теперь найдем производную \( y \) по \( x \) и приравняем ее к нулю для нахождения критических точек:
\[ \frac{dy}{dx} = 2 - \frac{20}{x^2} \]
Приравняем производную к нулю:
\[ 2 - \frac{20}{x^2} = 0 \]
- Умножим обе стороны уравнения на \( x^2 \):
\[ 2x^2 = 20 \]
- Разделим обе стороны на 2:
\[ x^2 = 10 \implies x = \sqrt{10} \]
- Проверим, является ли эта точка минимумом, используя вторую производную:
\[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{40}{x^3} \]
Поскольку \( x > 0 \), вторая производная всегда положительна, что означает, что при \( x = \sqrt{10} \) у нас есть минимум.
- Теперь найдем значение функции в этой точке:
\[ y = 2\sqrt{10} + 9 + \frac{20}{\sqrt{10}} = 2\sqrt{10} + 9 + 2\sqrt{10} = 4\sqrt{10} + 9 \]
Таким образом, наименьшее значение выражения \( y \) при \( x > 0 \) равно \( 4\sqrt{10} + 9 \).
