Решите уравнение (х-1)(х^2+8х+16)=6(х+4)

Давайте решим уравнение \((x-1)(x^2 + 8x + 16) = 6(x + 4)\).

1. Сначала упростим левую часть уравнения. Заметите, что \(x^2 + 8x + 16\) можно переписать как \((x + 4)^2\). Таким образом, левую часть уравнения можно представить так:

   \((x - 1)(x + 4)^2 = 6(x + 4)\)

2. Если \(x + 4 \neq 0\) (то есть \(x \neq -4\)), мы можем разделить обе стороны на \(x + 4\):

   \((x - 1)(x + 4) = 6\)

3. Раскроем скобки:

   \(x^2 + 4x - x - 4 = 6\)

   \(x^2 + 3x - 4 = 6\)

4. Переносим 6 на левую сторону уравнения:

   \(x^2 + 3x - 10 = 0\)

5. Теперь найдем корни этого квадратного уравнения, используя формулу корней:

   \[x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a}\]

   Здесь \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -10\).

6. Вычислим дискриминант:

   \(D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\)

7. Теперь найдем корни:

   \[x = \frac{{-3 \pm \sqrt{49}}}{2 \cdot 1}\] \[x = \frac{{-3 \pm 7}}{2}\]

   Из этого мы получаем два решения:

   1. \(x_1 = \frac{{-3 + 7}}{2} = \frac{4}{2} = 2\)
   2. \(x_2 = \frac{{-3 - 7}}{2} = \frac{-10}{2} = -5\)

8. Теперь проверим, не является ли \(x = -4\ решением исключения: Подставляем \(x = -4\) в исходное уравнение:

   \(((-4) - 1)((-4)^2 + 8(-4) + 16) = -5(0) = 0\), а правая часть: \(6(-4 + 4) = 0\).

   Уравнение выполняется, значит, \(x = -4\) — тоже решение.

Таким образом, решения уравнения:

\(x = 2, x = -5, x = -4\).