Докажите, что функция y = (sqrt(4x ^ 2) - 2x)(|x| + x) является и четной, и нечетной.
Чтобы доказать, что функция \( y = (\sqrt{4x^2} - 2x)(|x| + x) \) является и четной, и нечетной, начнем с разбора ее свойств.
1. Упростим выражение.
Первый шаг — упростить выражение \( \sqrt{4x^2} - 2x \). Поскольку \( \sqrt{4x^2} = 2|x| \), мы можем переписать функцию:
\[ y = (2|x| - 2x)(|x| + x) \]
Теперь рассмотрим два случая: \( x \geq 0 \) и \( x < 0 \).
Случай 1: \( x \geq 0 \)
В этом случае \( |x| = x \). Подставим в выражение:
\[ y = (2x - 2x)(x + x) = 0 \]
Случай 2: \( x < 0 \)
В этом случае \( |x| = -x \). Подставим в выражение:
\[ y = (2(-x) - 2x)(-x + x) = (-2x - 2x)(0) = 0 \]
В обоих случаях получаем, что \( y = 0 \). Таким образом, функция принимает значение 0 для всех \( x \).
2. Проверим четность и нечетность.
Функция \( y \) четная, если \( y(-x) = y(x) \) для всех \( x \), и нечетная, если \( y(-x) = -y(x) \) для всех \( x \).
Итак, подставим \( -x \):
\[ y(-x) = 0 \]
Поскольку мы уже нашли, что \( y(x) = 0 \), то:
- Для четности: \( y(-x) = y(x) = 0 \). Функция четная.
- Для нечетности: \( y(-x) = -y(x) = 0 \). Функция нечетная.
Таким образом, функция \( y \) одновременно является четной и нечетной, что возможным только в случае, если она идентично равна нулю для всех \( x \).
Вывод: Функция \( y = (\sqrt{4x^2} - 2x)(|x| + x) \) является и четной, и нечетной, так как \( y = 0 \) для всех \( x \).
