Исследуй на четность функцию : f(x) = sin 4x + 4x ^ 2009
Чтобы исследовать функцию на четность, нам необходимо выяснить, является ли она четной, нечетной или ни тем, ни другим.
Функция называется четной, если выполняется следующее равенство для всех \( x \):
\[ f(-x) = f(x) \]
Функция называется нечетной, если выполняется равенство:
\[ f(-x) = -f(x) \]
Теперь давайте найдем \( f(-x) \) для данной функции:
\[ f(x) = \sin(4x) + 4x^{2009} \]
Теперь подставим \( -x \):
\[ f(-x) = \sin(4(-x)) + 4(-x)^{2009} \]
Это упрощается до:
\[ f(-x) = \sin(-4x) + 4(-x)^{2009} \]
Используя свойства тригонометрических функций и степень:
- \( \sin(-4x) = -\sin(4x) \) — функция синуса является нечетной.
- \( (-x)^{2009} = -x^{2009} \) — так как 2009 — нечетное число, \( 4(-x)^{2009} = -4x^{2009} \).
Теперь можно записать:
\[ f(-x) = -\sin(4x) - 4x^{2009} \]
Теперь сравним \( f(-x) \) с \( -f(x) \):
\[ -f(x) = -(\sin(4x) + 4x^{2009}) = -\sin(4x) - 4x^{2009} \]
Таким образом:
\[ f(-x) = -f(x) \]
Это указывает на то, что функция \( f(x) \) является нечетной.
В итоге, функция \( f(x) = \sin(4x) + 4x^{2009} \) является нечетной.
