(x-1) (2x-5) /2-x<0. решите уравнение методом интервала

Чтобы решить неравенство \(\frac{(x-1)(2x-5)}{2-x} < 0\) методом интервала, первым делом найдем нули числителя и знаменателя.

1. Находим нули числителя:

   • \((x-1)(2x-5) = 0\)
   • Это уравнение будет равно нулю, если \(x-1 = 0\) или \(2x-5 = 0\).
   • Решения:
     • \(x = 1\)
     • \(2x - 5 = 0 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{2}\)

2. Находим нули знаменателя:

   • Знаменатель будет равен нулю при \(2 - x = 0\), т.е. \(x = 2\).

3. Определяем ключевые точки:

   • Итак, ключевые точки: \(x = 1\), \(x = 2\), \(x = \frac{5}{2}\).

4. Проверяем интервалы:

   • У нас есть пять интервалов, которые необходимо проверить:
     1. \((-∞; 1)\)
     2. \((1; 2)\)
     3. \((2; \frac{5}{2})\)
     4. \((\frac{5}{2}; +∞)\)

Теперь подберём тестовые точки из каждого интервала и определим знак выражения \(\frac{(x-1)(2x-5)}{2-x}\).

1. Интервал \((-∞; 1)\), например, \(x = 0\): \[ \frac{(0-1)(2*0-5)}{2-0} = \frac{(-1)(-5)}{2} = \frac{5}{2} > 0 \]

2. Интервал \((1; 2)\), например, \(x = 1.5\): \[ \frac{(1.5-1)(2*1.5-5)}{2-1.5} = \frac{(0.5)(3-5)}{0.5} = \frac{(0.5)(-2)}{0.5} = -2 < 0 \]

3. Интервал \((2; \frac{5}{2})\), например, \(x = 2.2\): \[ \frac{(2.2-1)(2*2.2-5)}{2-2.2} = \frac{(1.2)(4.4-5)}{2-2.2} = \frac{(1.2)(-0.6)}{-0.2} = \frac{-0.72}{-0.2} > 0 \]

4. Интервал \((\frac{5}{2}; +∞)\), например, \(x = 3\): \[ \frac{(3-1)(2*3-5)}{2-3} = \frac{(2)(6-5)}{2-3} = \frac{(2)(1)}{-1} = -2 < 0 \]

5. Собираем результаты:

   • \((-∞; 1)\): положительное
   • \((1; 2)\): отрицательное
   • \((2; \frac{5}{2})\): положительное
   • \((\frac{5}{2}; +∞)\): отрицательное

6. Итог: Неравенство \(\frac{(x-1)(2x-5)}{2-x} < 0\) выполняется на интервалах: \((1; 2)\) и \((\frac{5}{2}; +∞)\).

Таким образом, решение данного неравенства: \(x \in (1; 2) \cup \left(\frac{5}{2}; +\infty\right)\).