(x-1) /(2x-5) /2-x<0. решите неравенство методом интервала
Для решения неравенства \(\frac{(x-1)}{(2x-5)(2-x)} < 0\) методом интервалов, следуем нескольким шагам.
Определим нули числителя и знаки знаменателя.
- Числитель: \(x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\).
- Знаменатель: \((2x - 5)(2 - x) = 0\).
Найдем нули знаменателя:
- \(2x - 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{2}\) (или 2.5).
- \(2 - x = 0 \Rightarrow x = 2\).
Теперь у нас есть три критические точки: \(x = 1\), \(x = 2\) и \(x = \frac{5}{2}\).
Разбиваем числовую ось на интервалы.
Критические точки разбивают числовую ось на следующие интервалы:
- \((-\infty, 1)\)
- \((1, 2)\)
- \((2, \frac{5}{2})\)
- \((\frac{5}{2}, +\infty)\)
Выбираем тестовые точки в каждом предыдущем интервале.
Для интервала \((-\infty, 1)\), выберем точку \(x = 0\): \[ \frac{(0-1)}{(2\cdot0-5)(2-0)} = \frac{-1}{(-5)(2)} = \frac{-1}{-10} = \frac{1}{10} > 0. \]
Для интервала \((1, 2)\), выберем точку \(x = 1.5\): \[ \frac{(1.5-1)}{(2\cdot1.5-5)(2-1.5)} = \frac{0.5}{(3-5)(0.5)} = \frac{0.5}{-2 \cdot 0.5} = \frac{0.5}{-1} < 0. \]
Для интервала \((2, \frac{5}{2})\), выберем точку \(x = 2.2\): \[ \frac{(2.2-1)}{(2\cdot2.2-5)(2-2.2)} = \frac{1.2}{(4.4-5)(-0.2)} = \frac{1.2}{-0.6 \cdot -0.2} = \frac{1.2}{0.12} > 0. \]
Для интервала \((\frac{5}{2}, +\infty)\), выберем точку \(x = 3\): \[ \frac{(3-1)}{(2\cdot3-5)(2-3)} = \frac{2}{(6-5)(-1)} = \frac{2}{1 \cdot -1} < 0. \]
Резюмируем знаки на интервалах:
- \((-\infty, 1)\): \(> 0\)
- \((1, 2)\): \(< 0\)
- \((2, \frac{5}{2})\): \(> 0\)
- \((\frac{5}{2}, +\infty)\): \(< 0\)
Теперь определим, где выражение меньше нуля.
Мы видим, что неравенство \(\frac{(x-1)}{(2x-5)(2-x)} < 0\) выполняется на интервалах:
- \(x \in (1, 2)\)
- \(x \in (\frac{5}{2}, +\infty)\)
Записываем ответ.
Таким образом, решение неравенства \(\frac{(x-1)}{(2x-5)(2-x)} < 0\) в интервалах: \[ x \in (1, 2) \cup \left(\frac{5}{2}, +\infty\right). \]
Это и будет искомым решением неравенства. Если у вас появились вопросы или нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь спрашивать!
